题目

3.已知两个线性变换-|||- ) (x)_(1)=2(y)_(1)+ (y)_(3) (x)_(2)=-2(y)_(1)+3(y)_(2)+2(y)_(3) (x)_(3)=4(y)_(1)+(y)_(2)+5(y)_(3) .-|||-求从z1,z2,z3到x 1,x2,x3的线性变换.

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查线性变换的复合运算，即通过矩阵乘法将两个线性变换合并为一个。关键在于正确表示两个线性变换对应的矩阵，并进行矩阵相乘。

解题思路：

  1. 矩阵表示：将两个线性变换分别表示为矩阵$A$（从$y$到$x$）和矩阵$B$（从$z$到$y$）。
  2. 矩阵乘法：计算复合变换的矩阵$AB$，其中$AB$的第$i$行第$j$列元素为$A$的第$i$行与$B$的第$j$列的点积。
  3. 结果转换：将矩阵$AB$转换为从$z$到$x$的线性变换方程组。

破题关键：正确构造矩阵$A$和$B$，并准确执行矩阵乘法运算。

步骤1：构造矩阵$A$和$B$

  • 矩阵$A$（从$y$到$x$）：
    $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -2 & 3 & 2 \\ 4 & 1 & 5 \end{bmatrix}$
  • 矩阵$B$（从$z$到$y$）：
    $B = \begin{bmatrix} -3 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 3 \end{bmatrix}$

步骤2：计算矩阵乘积$AB$

  • 第一行：

    • $x_1$的系数：$2 \cdot (-3) + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 0 = -6$
    • $x_1$的系数：$2 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) = 1$
    • $x_1$的系数：$2 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 3 = 3$
      → $x_1 = -6z_1 + z_2 + 3z_3$

  • 第二行：

    • $x_2$的系数：$-2 \cdot (-3) + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 0 = 12$
    • $x_2$的系数：$-2 \cdot 1 + 3 \cdot 0 + 2 \cdot (-1) = -4$
    • $x_2$的系数：$-2 \cdot 0 + 3 \cdot 1 + 2 \cdot 3 = 9$
      → $x_2 = 12z_1 - 4z_2 + 9z_3$

  • 第三行：

    • $x_3$的系数：$4 \cdot (-3) + 1 \cdot 2 + 5 \cdot 0 = -10$
    • $x_3$的系数：$4 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 5 \cdot (-1) = -1$
    • $x_3$的系数：$4 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 5 \cdot 3 = 16$
      → $x_3 = -10z_1 - z_2 + 16z_3$

步骤3：验证答案一致性

题目给出的答案中$x_3$缺少$16z_3$项，可能存在排版或计算错误。根据推导，正确结果应包含$16z_3$。