题目
5.5 一复杂的系统由100个相互独立起作用的部件组成，在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.1，为了使整个系统起作用，至少要有85个部件正常工作.求整个系统起作用的概率.
5.5 一复杂的系统由100个相互独立起作用的部件组成，在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.1，为了使整个系统起作用，至少要有85个部件正常工作.求整个系统起作用的概率.
题目解答
答案
设 $X$ 表示正常工作的部件数，$X$ 服从二项分布 $b(100, 0.9)$。期望值 $E(X) = 90$，方差 $D(X) = 9$。由中心极限定理，$X$ 近似服从正态分布 $N(90, 9)$。
标准化得：
\[
Z = \frac{X - 90}{3} \sim N(0, 1)
\]
求 $P(X \geq 85)$：
\[
P\left(Z \geq \frac{85 - 90}{3}\right) = P(Z \geq -1.67) = 1 - P(Z < -1.67) \approx 1 - 0.0475 = 0.9525
\]
**答案：** $\boxed{0.9525}$