题目
4.判断题设幂级数sum_(n=0)^inftya_(n)x^n的收敛半径R>0，则其和函数S(x)在收敛域内可逐项积分。A.对B.错
4.判断题
设幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}$的收敛半径R>0，则其和函数S(x)在收敛域内可逐项积分。
A.对
B.错
题目解答
答案
幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛半径 $R > 0$，在收敛区间 $(-R, R)$ 内绝对收敛且一致收敛。根据阿贝尔定理，若端点处收敛，则和函数在端点连续。由于和函数在收敛域内连续，且幂级数在收敛区间内可逐项积分，因此在收敛域内也可逐项积分。
**答案：A**
解析
本题考查幂级数的性质，解题思路是依据幂幂幂级数收敛半径、收敛域、和函数的连续性以及幂级数逐项积分的相关定理来判断命题的正确性。
- 首先明确幂级数收敛半径与收敛区间的关系：
- 已知幂级数$\sum_{n = 0}^{\infty}a_{n}x^{n}$的收敛半径$R>0$，根据幂级数收敛半径的定义，该幂级数在收敛区间$(-R,R)$内绝对收敛且一致收敛。
- 然后考虑收敛域的情况：
- 收敛域是在收敛区间$(-R,R)$的基础上，再判断端点$x = -R$和$x = R$处的敛散性得到的。根据阿贝尔定理，如果幂级数在端点处收敛，那么和函数$S(x)$在该端点处连续。也就是说，和函数$S(x)$在整个收敛域上是连续的。
- 最后依据幂级数逐项积分的定理：
- 幂级数在其收敛区间$(-R,R)$内是可以逐项积分的，即$\int_{0}^{x}S(t)dt=\int_{0}^{x}\sum_{n = 0}^{\infty}a_{n}t^{n}dt=\sum_{n = 0}^{\infty}\int_{0}^{x}a_{n}t^{n}dt$，$x\in(-R,R)$。
- 又因为和函数$S(x)$在收敛域上连续，所以在收敛域内同样满足逐项积分的性质。因此，“设幂级数$\sum_{n = 0}^{\infty}a_{n}x^{n}$的收敛半径$R>0$，则其和函数$S(x)$在收敛域内可逐项积分”这一命题是正确的。