题目
用格林公式计算 int_(L) -ydx + xdy = ( )，L 是圆心在原点，半径为1的圆周，方向为逆时针方向。A. 2piB. 2C. 0D. pi
用格林公式计算 $\int_{L} -ydx + xdy = (\quad)$，$L$ 是圆心在原点，半径为1的圆周，方向为逆时针方向。
A. $2\pi$
B. $2$
C. $0$
D. $\pi$
题目解答
答案
A. $2\pi$
解析
步骤 1：应用格林公式
格林公式表明，对于一个正向、分段光滑、简单闭合曲线 $L$ 和由 $L$ 界定的区域 $D$，如果 $P$ 和 $Q$ 在包含 $D$ 的开区域内具有连续的偏导数，那么 \[ \oint_{L} Pdx + Qdy = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA. \] 在这个问题中，我们有 $P(x, y) = -y$ 和 $Q(x, y) = x$。我们需要计算偏导数 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial P}{\partial y}$： \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x) = 1, \] \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(-y) = -1. \] 将这些代入格林公式，我们得到 \[ \oint_{L} -ydx + xdy = \iint_{D} \left( 1 - (-1) \right) dA = \iint_{D} 2 \, dA. \]
步骤 2：计算二重积分
二重积分 $\iint_{D} 2 \, dA$ 等于区域 $D$ 的面积的两倍。由于 $D$ 是半径为1的圆，圆的面积 $A$ 为 \[ A = \pi r^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi. \] 因此， \[ \iint_{D} 2 \, dA = 2 \cdot \pi = 2\pi. \]
步骤 3：得出结论
所以，线积分的值为 \[ \oint_{L} -ydx + xdy = 2\pi. \]
格林公式表明，对于一个正向、分段光滑、简单闭合曲线 $L$ 和由 $L$ 界定的区域 $D$，如果 $P$ 和 $Q$ 在包含 $D$ 的开区域内具有连续的偏导数，那么 \[ \oint_{L} Pdx + Qdy = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA. \] 在这个问题中，我们有 $P(x, y) = -y$ 和 $Q(x, y) = x$。我们需要计算偏导数 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial P}{\partial y}$： \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x) = 1, \] \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(-y) = -1. \] 将这些代入格林公式，我们得到 \[ \oint_{L} -ydx + xdy = \iint_{D} \left( 1 - (-1) \right) dA = \iint_{D} 2 \, dA. \]
步骤 2：计算二重积分
二重积分 $\iint_{D} 2 \, dA$ 等于区域 $D$ 的面积的两倍。由于 $D$ 是半径为1的圆，圆的面积 $A$ 为 \[ A = \pi r^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi. \] 因此， \[ \iint_{D} 2 \, dA = 2 \cdot \pi = 2\pi. \]
步骤 3：得出结论
所以，线积分的值为 \[ \oint_{L} -ydx + xdy = 2\pi. \]