1.已知向量 overrightarrow (a)=(1,3) , overrightarrow (b)=(-2,1) ,则 overrightarrow (a)-3overrightarrow (b)=()-|||-A. (-8,3) B. (-8,-3) C.(8,3) D. (8,-3)-|||-2.函数 =sin 2x 的最小正周期是 ()-|||-A. dfrac (pi )(2) B.π C.2π D.4π-|||-3. sin (20)^circ cos (10)^circ +cos (20)^circ sin (10)^circ = ()-|||-A. dfrac (1)(4) B. dfrac (sqrt {3)}(2) C. dfrac (1)(2) D. dfrac (sqrt {3)}(4)-|||-4.sin15°的值是 ()-|||-A. dfrac (sqrt {6)+sqrt (2)}(4) B. dfrac (sqrt {6)-sqrt (2)}(4) C. dfrac (-sqrt {6)+sqrt (2)}(4) D. dfrac (-sqrt {6)-sqrt (2)}(4)-|||-5.已知平面向量 overrightarrow (a)=(2,4) overrightarrow (b)=(-1,2) overrightarrow (c)=overrightarrow (a)-(overrightarrow (a)cdot overrightarrow (b))overrightarrow (b) ,则|c|c于 ()-|||-A. sqrt (2) B. sqrt (5) C.8 D. sqrt (2)-|||-6." cos alpha =dfrac (3)(5) "是" sin (2a+dfrac (pi )(2))=-dfrac (7)(25) "的 ()-|||-A.充分不必要条件 B.必要不充分条件-|||-C.充要条件 D.既不充分也不必要条件-|||-7.已知向量 overrightarrow (a)=(2,1) ,overrightarrow (b)=(1,-1) ,向量a在b方向上的投影向量为 ()-|||-A. (2,-2) B. (dfrac (1)(2),-dfrac (1)(2)) C. (dfrac (2)(5),dfrac (1)(5)) D. (dfrac (sqrt {2)}(2),-dfrac (sqrt {2)}(2))-|||-8.若 cos (x-dfrac (pi )(6))=dfrac (1)(4) ,则 sin (2x+dfrac (pi )(6))=()-|||-A. dfrac (sqrt {15)}(8) B. dfrac (7)(8) C. -dfrac (sqrt {15)}(8) . D. -dfrac (7)(8)
题目解答
答案
解析
1. 向量计算
题目考察向量的线性运算。已知$\overrightarrow{a}=(1,3)$，$\overrightarrow{b}=(-2,1)$，，计算$2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$：
$2\overrightarrow{a}=(2\times1,2\times3)=(2,6)$，$3\overrightarrow{b}=(3\times(-2),3\times1)=(-6,3)$，则$2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}=(2 - (-6),6 - 3)=(8,3)$，对应选项C。
2. 三角函数周期
题目考察正弦函数的周期公式。对于函数$y=\sin(\omega x+\phi)$，最小正周期$T=\frac{2\pi}/|\omega|$。此处$\omega=2$，故$T=\{2\pi}/2=\pi$，对应选项B。
3. 两角和的正弦公式
题目考察两角和的正弦公式$\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$。原式$=\sin(20^{\circ}+10^{\circ})=\sin30^{\circ}=\{1}/2$，对应选项C。
4. 特殊角的正弦值
题目考察利用两角差的正弦公式计算$\sin15^{\circ$。$\sin15^{\circ}=\sin(45^{\circ}-30^{\circ})=\sin45^{\circ}\cos30^{\circ}-\cos45^{\circ}\sin30^{\circ}=\{\sqrt{2}}/{2}\times{\sqrt{3}}/{2}-\{\sqrt{2}}}}/{2}\times\{1}/{2}={\sqrt{6}-\sqrt{2}}/{4}$，对应选项B。
5. 向量模的计算
题目考察向量的数量积与模的计算。已知$\overrightarrow{a}=(2,4)$，$\overrightarrow{b}=(-1,2)$：
- $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=2\times(-1)+4\times2=-2+8=6$
- $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}-6\overrightarrow{b}=(2,4)-6(-1,2)=(2+6,4-12)=(8,-8)$
- $|\overrightarrow{c}|=\sqrt{8^2+(-8)^2}=\sqrt{128}=8\sqrt{2}$，对应选项D。
6. 充分必要条件判断
题目考察三角函数公式$\sin(2\alpha+\pi/2)=\cos2\alpha$及二倍角公式。若$\cos\alpha=3/5$，则$\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1=2\times(9/25)-1=-7/25$，充分性成立；反之，若$\sin(2\alpha+\pi/2)=-7/25$，则$\cos2\alpha=\pm3/5$，必要性不成立，故为充分不必要条件，对应选项A。
7. 向量投影向量计算
题目考察向量在方向上的投影向量公式：$\text{投影向量}=\left(\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{|b|^2}}\right)\overrightarrow{b}$。
- $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=2\times1+1\times(-1)=1$，$|\overrightarrow{b}|^2=1^2+(-1)^2=2$
- 投影向量$=\frac{12(-1,2)=(-1/2,1/2)$？纠正：原式应为$\left(\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|^2}\right)\overrightarrow{b}=\frac{1}{2}(1,-1)=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$？不，$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=2\times1+1\times(-1)=1$，$|\overrightarrow{|b|^2}=2$，故投影向量$=\frac{1}{2}(1,-1)=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}})$，对应选项B。
8. 诱导公式与二倍角
题目考察诱导公式及二倍角公式。已知$\cos(x-\pi/6)=1/4$，则：
$\sin(2x+\pi/6)=\sin\left(2x+\pi/6\right)=\cos\left(\pi/2-(2x+\pi/6)\right)=\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)=-\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$
由二倍角公式$\cos(2\theta)=2\cos^2(\theta/2)-1$，得$\cos(2x-\pi/3)=2\cos已\cos^2(x-\pi/6)-1=2\times(1/16)-1=-7/8$，故$\sin(2x+\pi/6)=-(-7/8)=7/8$？不，正确推导：
$\sin(2x+\pi/6)=\sin\left[2\left(x-\pi/6\right)+\pi/2\right]=\cos\left[2\left(x-\pi/6\right)\right]=2\cos^2(x-\pi/6)-1=2\times(1/16)-1=-7/8$，对应选项D。