题目

(4) (x)=(x)^3-(x)^2-x+1 满足 () .-|||-(A)在 (-infty ,-dfrac (1)(3)] 内单调递增 (B)在 [ dfrac (1)(3),+infty ) 内单调递减-|||-(C) x=1 处取得极大值 (D)在 [ dfrac (1)(3),+infty ) 内为凸函数

题目解答

答案

解析

本题考查函数的单调性、极值以及凹凸性，解题思路是先对函数求导，根据导数的正负判断函数的单调性和极值，再对导数求导，根据二阶导数的正负判断函数的凹凸性。

  1. 求函数$f(x)$的一阶导数$f^\prime(x)$：
    已知$f(x)=x^3 - x^2 - x + 1$，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，对$f(x)$求导可得：
    $f^\prime(x)=(x^3 - x^2 - x + 1)^\prime=(x^3)^\prime-(x^2)^\prime-(x)^\prime+(1)^\prime=3x^2 - 2x - 1$
  2. 求函数$f(x)$的单调区间：
    令$f^\prime(x)=0$，即$3x^2 - 2x - 1 = 0$，因式分解可得$(3x + 1)(x - 1) = 0$，则$3x + 1 = 0$或$x - 1 = 0$，解得$x = -\dfrac{1}{3}$或$x = 1$。
    根据二次函数的性质，二次项系数$3\gt0$，函数图象开口向上，所以当$x\lt -\dfrac{1}{3}$或$x\gt 1$时，$f^\prime(x)\gt 0$，函数$f(x)$单调递增；当$-\dfrac{1}{3}\lt x\lt 1$时，$f^\prime(x)\lt 0$，函数$f(x)$单调递减。
    • 选项A：因为当$x\in (-\infty,-\dfrac{1}{3}]$时，$f^\prime(x)\gt 0$，所以函数$f(x)$在$(-\infty,-\dfrac{1}{3}]$内单调递增，A选项正确。
    • 选项B：当$x\in [\dfrac{1}{3},1)$时，$f^\prime(x)\lt 0$，函数$f(x)$单调递减；当$x\in (1,+\infty)$时，$f^\prime(x)\gt 0$，函数$f(x)$单调递增，所以函数$f(x)$在$[\dfrac{1}{3},+\infty )$内不是单调递减的，B选项错误。
  3. 求函数$f(x)$的极值：
    由函数单调性可知，$x = -\dfrac{1}{3}$是函数的极大值点，$x = 1$是函数的极小值点，所以函数$f(x)$在$x = 1$处取得极小值，C选项错误。
  4. 求函数$f(x)$的二阶导数$f^{\prime\prime}(x)$并判断凹凸性：
    对$f^\prime(x)=3x^2 - 2x - 1$求导，可得$f^{\prime\prime}(x)=(3x^2 - 2x - 1)^\prime=(3x^2)^\prime-(2x)^\prime-(1)^\prime=6x - 2$。
    令$f^{\prime\prime}(x)=0$，即$6x - 2 = 0$，解得$x = \dfrac{1}{3}$。
    当$x\gt \dfrac{1}{3}$时，$f^{\prime\prime}(x)\gt 0$，函数$f(x)$的图象是凹的，所以函数$f(x)$在$[\dfrac{1}{3},+\infty )$内为凹函数，D选项错误。