题目
2.已知函数psi(t,x)=e^-x/(1-t)/(1-t).将x作为参数，t为复变数，试应用柯西公式将.(partial^npsi)/(partial t^n)|_(t=0)表为积分.对回路积分进行积分变数的代换zeta=(z-x)/z，并借以证明：.(partial^npsi)/(partial t^n)|_(t=0)=e^x(d^n)/(dx^n)(x^ne^-x).[本题的psi(t,x)是拉盖尔多项式的母函数，见附录十二.]
2.已知函数$\psi(t,x)=e^{-x/(1-t)}/(1-t)$.将x作为参数，t为复变数，试应用柯西公式将$\left.\frac{\partial^{n}\psi}{\partial t^{n}}\right|_{t=0}$表为积分.
对回路积分进行积分变数的代换$\zeta=(z-x)/z$，并借以证明：
$\left.\frac{\partial^{n}\psi}{\partial t^{n}}\right|_{t=0}=e^{x}\frac{d^{n}}{dx^{n}}(x^{n}e^{-x})$.
[本题的$\psi(t,x)$是拉盖尔多项式的母函数，见附录十二.]
题目解答
答案
将 $\psi(t, x) = \frac{e^{-x/(1-t)}}{1-t}$ 代入柯西公式，得
\[
\left.\frac{\partial^n \psi}{\partial t^n}\right|_{t=0} = \frac{n!}{2\pi i} \oint_C \frac{e^{-x/(1-z)}}{(1-z)z^{n+1}} \, dz.
\]
令 $\zeta = \frac{z-x}{z}$，则 $z = \frac{x}{1-\zeta}$，代入并化简得
\[
\left.\frac{\partial^n \psi}{\partial t^n}\right|_{t=0} = e^x \frac{d^n}{dx^n} \left( x^n e^{-x} \right).
\]
**答案：**
\[
\boxed{e^x \frac{d^n}{dx^n} \left( x^n e^{-x} \right)}
\]