题目

设事件 A，B 的概率分别为 (1)/(2) 与 (1)/(5)，若 B subset A，则 P(Aoverline(B))=(）。 A 3/10 B 2/5 C 1/2 D 7/10

设事件 $A$，$B$ 的概率分别为 $\frac{1}{2}$ 与 $\frac{1}{5}$，若 $B \subset A$，则 $P(A\overline{B})=$(）。

A 3/10

B 2/5

C 1/2

D 7/10

题目解答

答案

为了求解 $ P(A \overline{B}) $，我们首先需要理解 $ A \overline{B} $ 的含义。事件 $ A \overline{B} $ 表示事件 $ A $ 发生但事件 $ B $ 不发生。由于 $ B \subset A $，事件 $ B $ 的发生一定伴随着事件 $ A $ 的发生，因此事件 $ A \overline{B} $ 就是事件 $ A $ 发生且事件 $ B $ 不发生，即事件 $ A $ 中排除事件 $ B $ 的部分。 根据概率的性质，我们可以使用以下公式来求解 $ P(A \overline{B}) $: \[ P(A \overline{B}) = P(A) - P(B) \] 已知 $ P(A) = \frac{1}{2} $ 和 $ P(B) = \frac{1}{5} $，将这些值代入公式中，我们得到: \[ P(A \overline{B}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \] 为了进行减法，我们需要找到两个分数的公分母。2和5的最小公倍数是10，因此我们将分数转换为具有相同分母的形式: \[ \frac{1}{2} = \frac{5}{10} \] \[ \frac{1}{5} = \frac{2}{10} \] 现在可以进行减法: \[ P(A \overline{B}) = \frac{5}{10} - \frac{2}{10} = \frac{3}{10} \] 因此， $ P(A \overline{B}) $ 的值是 $\frac{3}{10}$。 正确答案是 $\boxed{A}$。

解析

考查要点：本题主要考查事件的包含关系及概率的加法公式的应用。关键在于理解事件$B \subset A$时，如何分解事件$A$为$B$和$A\overline{B}$两部分，并利用概率的可加性求解。

解题核心思路：
当$B \subset A$时，事件$A$可以分解为两个互斥事件$B$和$A\overline{B}$的并集。根据概率的加法公式，有：
$P(A) = P(B) + P(A\overline{B})$
因此，$P(A\overline{B})$可直接通过$P(A) - P(B)$计算。

破题关键点：

  1. 明确$B \subset A$的条件，确定$B$与$A$的关系；
  2. 利用概率的可加性，将$A$拆分为$B$和$A\overline{B}$两部分；
  3. 代入已知概率值进行运算。

步骤1：理解事件关系
由于$B \subset A$，事件$B$的发生必然导致事件$A$发生。因此，事件$A$可以分解为两个互斥事件：

  • $B$（$A$中同时发生$B$的部分）；
  • $A\overline{B}$（$A$中不发生$B$的部分）。

步骤2：应用概率加法公式
根据概率的可加性，有：
$P(A) = P(B) + P(A\overline{B})$
因此：
$P(A\overline{B}) = P(A) - P(B)$

步骤3：代入已知概率值
已知$P(A) = \frac{1}{2}$，$P(B) = \frac{1}{5}$，代入公式：
$P(A\overline{B}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{5}$

步骤4：计算分数减法
通分后计算：
$\frac{1}{2} = \frac{5}{10}, \quad \frac{1}{5} = \frac{2}{10}$
因此：
$P(A\overline{B}) = \frac{5}{10} - \frac{2}{10} = \frac{3}{10}$