题目
设氢原子的状态是-|||-= 1/2R21(r)Y11(θ,ϕ) -√3/2R21(r)Y1o(θ,φ)J -|||-(1)求轨道角动量z分量L2和自旋角动量z分量S2的期望值;-|||-(2)求总磁矩 =-dfrac (e)(2m)t-dfrac (e)(m)s 的z分量的期望值(用玻尔磁子表示).
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定氢原子状态的表达式
氢原子的状态是 $\psi = \dfrac{1}{2}R_{21}(r)Y_{11}(\theta, \varphi) - \dfrac{\sqrt{3}}{2}R_{21}(r)Y_{10}(\theta, \varphi)$。其中，$R_{21}(r)$ 是径向波函数，$Y_{11}(\theta, \varphi)$ 和 $Y_{10}(\theta, \varphi)$ 是球谐函数。
步骤 2：计算轨道角动量z分量Lz的期望值
轨道角动量z分量的期望值 $\langle L_z \rangle$ 可以通过计算 $\psi$ 的模平方与 $L_z$ 的本征值的乘积的积分得到。由于 $Y_{11}(\theta, \varphi)$ 和 $Y_{10}(\theta, \varphi)$ 分别对应于 $L_z$ 的本征值 $\hbar$ 和 $0$，因此：
$$\langle L_z \rangle = \dfrac{1}{2} \hbar - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0 = \dfrac{1}{2} \hbar$$
步骤 3：计算自旋角动量z分量Sz的期望值
自旋角动量z分量的期望值 $\langle S_z \rangle$ 可以通过计算 $\psi$ 的模平方与 $S_z$ 的本征值的乘积的积分得到。由于氢原子的自旋为 $\dfrac{1}{2}$，因此 $S_z$ 的本征值为 $\pm \dfrac{1}{2} \hbar$。由于题目中没有给出自旋的具体状态，我们假设自旋状态为 $\dfrac{1}{2} \hbar$，因此：
$$\langle S_z \rangle = \dfrac{1}{2} \hbar$$
步骤 4：计算总磁矩M的z分量的期望值
总磁矩 $M$ 的z分量的期望值 $\langle M_z \rangle$ 可以通过计算 $\psi$ 的模平方与 $M_z$ 的本征值的乘积的积分得到。由于 $M_z = -\dfrac{e}{2m_e}L_z - \dfrac{e}{m_e}S_z$，因此：
$$\langle M_z \rangle = -\dfrac{e}{2m_e} \langle L_z \rangle - \dfrac{e}{m_e} \langle S_z \rangle = -\dfrac{e}{2m_e} \cdot \dfrac{1}{2} \hbar - \dfrac{e}{m_e} \cdot \dfrac{1}{2} \hbar = -\dfrac{3}{4} \dfrac{e \hbar}{m_e}$$
由于玻尔磁子 $\mu_B = \dfrac{e \hbar}{2m_e}$，因此：
$$\langle M_z \rangle = -\dfrac{3}{2} \mu_B$$
氢原子的状态是 $\psi = \dfrac{1}{2}R_{21}(r)Y_{11}(\theta, \varphi) - \dfrac{\sqrt{3}}{2}R_{21}(r)Y_{10}(\theta, \varphi)$。其中，$R_{21}(r)$ 是径向波函数，$Y_{11}(\theta, \varphi)$ 和 $Y_{10}(\theta, \varphi)$ 是球谐函数。
步骤 2：计算轨道角动量z分量Lz的期望值
轨道角动量z分量的期望值 $\langle L_z \rangle$ 可以通过计算 $\psi$ 的模平方与 $L_z$ 的本征值的乘积的积分得到。由于 $Y_{11}(\theta, \varphi)$ 和 $Y_{10}(\theta, \varphi)$ 分别对应于 $L_z$ 的本征值 $\hbar$ 和 $0$，因此：
$$\langle L_z \rangle = \dfrac{1}{2} \hbar - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0 = \dfrac{1}{2} \hbar$$
步骤 3：计算自旋角动量z分量Sz的期望值
自旋角动量z分量的期望值 $\langle S_z \rangle$ 可以通过计算 $\psi$ 的模平方与 $S_z$ 的本征值的乘积的积分得到。由于氢原子的自旋为 $\dfrac{1}{2}$，因此 $S_z$ 的本征值为 $\pm \dfrac{1}{2} \hbar$。由于题目中没有给出自旋的具体状态，我们假设自旋状态为 $\dfrac{1}{2} \hbar$，因此：
$$\langle S_z \rangle = \dfrac{1}{2} \hbar$$
步骤 4：计算总磁矩M的z分量的期望值
总磁矩 $M$ 的z分量的期望值 $\langle M_z \rangle$ 可以通过计算 $\psi$ 的模平方与 $M_z$ 的本征值的乘积的积分得到。由于 $M_z = -\dfrac{e}{2m_e}L_z - \dfrac{e}{m_e}S_z$，因此：
$$\langle M_z \rangle = -\dfrac{e}{2m_e} \langle L_z \rangle - \dfrac{e}{m_e} \langle S_z \rangle = -\dfrac{e}{2m_e} \cdot \dfrac{1}{2} \hbar - \dfrac{e}{m_e} \cdot \dfrac{1}{2} \hbar = -\dfrac{3}{4} \dfrac{e \hbar}{m_e}$$
由于玻尔磁子 $\mu_B = \dfrac{e \hbar}{2m_e}$，因此：
$$\langle M_z \rangle = -\dfrac{3}{2} \mu_B$$