利用等价无穷小的性质, 求下列极限: (3)lim _(xarrow 0)dfrac (tan x-sin x)({sin )^3x};

考查要点：本题主要考查利用等价无穷小替换求极限的能力，需要熟练掌握三角函数在无穷小量下的近似展开。

解题核心思路：

1. 分子变形：将$\tan x - \sin x$分解为$\sin x \left( \frac{1}{\cos x} - 1 \right)$，简化表达式。
2. 等价无穷小替换：利用$\sin x \sim x$和$\frac{1}{\cos x} - 1 \sim \frac{x^2}{2}$，将高阶无穷小量替换为多项式形式。
3. 化简求极限：通过约分消去高阶项，最终得到常数结果。

破题关键点：

• 分子分解是简化表达式的突破口，将复杂的三角函数差转化为更易处理的形式。
• 正确选择等价无穷小是关键，需注意替换后的阶数匹配。

步骤1：分子变形
将$\tan x - \sin x$改写为：
$\tan x - \sin x = \sin x \cdot \frac{1}{\cos x} - \sin x = \sin x \left( \frac{1}{\cos x} - 1 \right)$

步骤2：代入原式并化简
原式变为：
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x \left( \frac{1}{\cos x} - 1 \right)}{\sin^3 x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos x} - 1}{\sin^2 x}$

步骤3：等价无穷小替换
当$x \to 0$时：

• $\sin x \sim x$，故$\sin^2 x \sim x^2$
• $\frac{1}{\cos x} - 1 \sim \frac{x^2}{2}$（泰勒展开$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$，取倒数展开）

步骤4：代入近似式并求极限
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2}}{x^2} = \frac{1}{2}$