题目
由曲线y=x3，直线x=2，y=0所围成的图形，分别绕x轴及y轴旋转，计算所得的两个旋转体的体积．
由曲线y=x3，直线x=2，y=0所围成的图形，分别绕x轴及y轴旋转，计算所得的两个旋转体的体积．
题目解答
答案
解：绕x轴旋转，所得的旋转体的体积Vx=${∫}_{0}^{2}$π（x3）2dx=${∫}_{0}^{2}$πx6dx=π×$\frac{{x}^{7}}{7}$${|}_{0}^{2}$=$\frac{128π}{7}$，
绕y轴旋转，所得的旋转体的体积Vy=π×22×23-${∫}_{0}^{8}$πy${}^{\frac{2}{3}}$dy=32-π${∫}_{0}^{8}$y${}^{\frac{2}{3}}$dy=32π-$π×\frac{3}{5}×$y${}^{\frac{5}{3}}$|${}_{0}^{8}$=32π-$π×\frac{3}{5}×$（8${}^{\frac{5}{3}}$-0${}^{\frac{5}{3}}$）=32π-$\frac{96π}{5}$=$\frac{64π}{5}$．
绕y轴旋转，所得的旋转体的体积Vy=π×22×23-${∫}_{0}^{8}$πy${}^{\frac{2}{3}}$dy=32-π${∫}_{0}^{8}$y${}^{\frac{2}{3}}$dy=32π-$π×\frac{3}{5}×$y${}^{\frac{5}{3}}$|${}_{0}^{8}$=32π-$π×\frac{3}{5}×$（8${}^{\frac{5}{3}}$-0${}^{\frac{5}{3}}$）=32π-$\frac{96π}{5}$=$\frac{64π}{5}$．
解析
步骤 1：绕x轴旋转的体积计算
绕x轴旋转的体积可以通过计算旋转体的横截面面积的积分来得到。横截面面积是圆的面积，其半径是曲线y=x^{3}在x轴上的值。因此，横截面面积为π(x^{3})^{2}。积分的范围是从x=0到x=2，因为曲线y=x^{3}与直线x=2和y=0围成的区域在x=0到x=2之间。
步骤 2：绕y轴旋转的体积计算
绕y轴旋转的体积可以通过计算旋转体的横截面面积的积分来得到。横截面面积是圆的面积，其半径是曲线y=x^{3}在y轴上的值。因此，横截面面积为πx^{2}。积分的范围是从y=0到y=8，因为曲线y=x^{3}与直线x=2和y=0围成的区域在y=0到y=8之间。
步骤 3：计算绕x轴旋转的体积
绕x轴旋转的体积V_x=${∫}_{0}^{2}$π（x^{3}）^{2}dx=${∫}_{0}^{2}$πx^{6}dx=π×$\frac{{x}^{7}}{7}$${|}_{0}^{2}$=$\frac{128π}{7}$。
步骤 4：计算绕y轴旋转的体积
绕y轴旋转的体积V_y=π×2^{2}×2^{3}-${∫}_{0}^{8}$πy${}^{\frac{2}{3}}$dy=32-π${∫}_{0}^{8}$y${}^{\frac{2}{3}}$dy=32π-$π×\frac{3}{5}×$y${}^{\frac{5}{3}}$|${}_{0}^{8}$=32π-$π×\frac{3}{5}×$（8${}^{\frac{5}{3}}$-0${}^{\frac{5}{3}}$）=32π-$\frac{96π}{5}$=$\frac{64π}{5}$。
绕x轴旋转的体积可以通过计算旋转体的横截面面积的积分来得到。横截面面积是圆的面积，其半径是曲线y=x^{3}在x轴上的值。因此，横截面面积为π(x^{3})^{2}。积分的范围是从x=0到x=2，因为曲线y=x^{3}与直线x=2和y=0围成的区域在x=0到x=2之间。
步骤 2：绕y轴旋转的体积计算
绕y轴旋转的体积可以通过计算旋转体的横截面面积的积分来得到。横截面面积是圆的面积，其半径是曲线y=x^{3}在y轴上的值。因此，横截面面积为πx^{2}。积分的范围是从y=0到y=8，因为曲线y=x^{3}与直线x=2和y=0围成的区域在y=0到y=8之间。
步骤 3：计算绕x轴旋转的体积
绕x轴旋转的体积V_x=${∫}_{0}^{2}$π（x^{3}）^{2}dx=${∫}_{0}^{2}$πx^{6}dx=π×$\frac{{x}^{7}}{7}$${|}_{0}^{2}$=$\frac{128π}{7}$。
步骤 4：计算绕y轴旋转的体积
绕y轴旋转的体积V_y=π×2^{2}×2^{3}-${∫}_{0}^{8}$πy${}^{\frac{2}{3}}$dy=32-π${∫}_{0}^{8}$y${}^{\frac{2}{3}}$dy=32π-$π×\frac{3}{5}×$y${}^{\frac{5}{3}}$|${}_{0}^{8}$=32π-$π×\frac{3}{5}×$（8${}^{\frac{5}{3}}$-0${}^{\frac{5}{3}}$）=32π-$\frac{96π}{5}$=$\frac{64π}{5}$。