题目
设 z = e^(y)/(x)，则 (partial z)/(partial x) = ()A. e^(y)/(x) yB. e^(y)/(x) (1)/(x)C. e^(y)/(x) (-(y)/(x^2) )D. e^(y)/(x)
设 $z = e^{\frac{y}{x}}$，则 $\frac{\partial z}{\partial x} = \left(\right)$
A. $e^{\frac{y}{x}} y$
B. $e^{\frac{y}{x}} \frac{1}{x}$
C. $e^{\frac{y}{x}} \left(-\frac{y}{x^2} \right)$
D. $e^{\frac{y}{x}}$
题目解答
答案
C. $e^{\frac{y}{x}} \left(-\frac{y}{x^2} \right)$
解析
步骤 1：确定函数形式
给定函数 $z = e^{\frac{y}{x}}$，其中 $y$ 和 $x$ 是变量，$z$ 是关于 $x$ 和 $y$ 的函数。
步骤 2：应用链式法则
为了求 $\frac{\partial z}{\partial x}$，我们需要对 $z$ 关于 $x$ 求偏导数。由于 $z$ 是 $e$ 的指数函数，我们首先对指数函数求导，然后乘以指数函数的导数。指数函数的导数是指数函数本身，因此我们有：
$$\frac{\partial z}{\partial x} = e^{\frac{y}{x}} \cdot \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{y}{x}\right)$$
步骤 3：计算 $\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{y}{x}\right)$
接下来，我们计算 $\frac{y}{x}$ 关于 $x$ 的偏导数。由于 $y$ 是常数，我们有：
$$\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{y}{x}\right) = y \cdot \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{x}\right) = y \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{y}{x^2}$$
步骤 4：组合结果
将步骤 2 和步骤 3 的结果组合，我们得到：
$$\frac{\partial z}{\partial x} = e^{\frac{y}{x}} \cdot \left(-\frac{y}{x^2}\right)$$
给定函数 $z = e^{\frac{y}{x}}$，其中 $y$ 和 $x$ 是变量，$z$ 是关于 $x$ 和 $y$ 的函数。
步骤 2：应用链式法则
为了求 $\frac{\partial z}{\partial x}$，我们需要对 $z$ 关于 $x$ 求偏导数。由于 $z$ 是 $e$ 的指数函数，我们首先对指数函数求导，然后乘以指数函数的导数。指数函数的导数是指数函数本身，因此我们有：
$$\frac{\partial z}{\partial x} = e^{\frac{y}{x}} \cdot \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{y}{x}\right)$$
步骤 3：计算 $\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{y}{x}\right)$
接下来，我们计算 $\frac{y}{x}$ 关于 $x$ 的偏导数。由于 $y$ 是常数，我们有：
$$\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{y}{x}\right) = y \cdot \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{x}\right) = y \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{y}{x^2}$$
步骤 4：组合结果
将步骤 2 和步骤 3 的结果组合，我们得到：
$$\frac{\partial z}{\partial x} = e^{\frac{y}{x}} \cdot \left(-\frac{y}{x^2}\right)$$