题目
计算不定积分 int (1)/(1+cos 2x) dx.
计算不定积分 $\int \frac{1}{1+\cos 2x} dx$.
题目解答
答案
我们来计算不定积分：
$$
\int \frac{1}{1+\cos 2x} \, dx
$$
---
### 第一步：使用三角恒等式简化被积函数
我们知道一个常用的三角恒等式：
$$
\cos 2x = 2\cos^2 x - 1
$$
所以：
$$
1 + \cos 2x = 1 + (2\cos^2 x - 1) = 2\cos^2 x
$$
因此，原积分可以化简为：
$$
\int \frac{1}{1+\cos 2x} \, dx = \int \frac{1}{2\cos^2 x} \, dx = \frac{1}{2} \int \sec^2 x \, dx
$$
---
### 第二步：积分
我们知道：
$$
\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C
$$
所以：
$$
\frac{1}{2} \int \sec^2 x \, dx = \frac{1}{2} \tan x + C
$$
---
### 最终答案：
$$
\boxed{\int \frac{1}{1+\cos 2x} \, dx = \frac{1}{2} \tan x + C}
$$
解析
考查要点：本题主要考查利用三角恒等式简化被积函数，并结合基本积分公式求解不定积分的能力。
解题核心思路：
- 利用三角恒等式将分母中的$1+\cos 2x$转化为关于$\cos x$的表达式，简化被积函数。
- 识别基本积分形式，将积分转化为$\int \sec^2 x \, dx$，直接应用已知积分公式求解。
破题关键点：
- 选择合适的三角恒等式：$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$，从而将分母化简为$2\cos^2 x$。
- 识别$\sec^2 x$的积分形式，快速得出结果。
步骤1：化简被积函数
利用三角恒等式$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$，可得：
$1 + \cos 2x = 1 + (2\cos^2 x - 1) = 2\cos^2 x.$
因此，原积分化简为：
$\int \frac{1}{1+\cos 2x} \, dx = \int \frac{1}{2\cos^2 x} \, dx = \frac{1}{2} \int \sec^2 x \, dx.$
步骤2：应用基本积分公式
根据积分公式$\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$，可得：
$\frac{1}{2} \int \sec^2 x \, dx = \frac{1}{2} \tan x + C.$