1、求极限 lim _(xarrow 0)dfrac (x-sin x)({x)^2ln (1+2x)}

步骤 1：使用泰勒展开式
首先，我们使用泰勒展开式来近似表达式中的函数。对于 $\sin x$，我们有：
$$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$$
对于 $\ln(1+2x)$，我们有：
$$\ln(1+2x) = 2x - \frac{(2x)^2}{2} + O(x^3) = 2x - 2x^2 + O(x^3)$$
步骤 2：代入泰勒展开式
将上述泰勒展开式代入原极限表达式中，我们得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x-\sin x}{{x}^{2}\ln (1+2x)} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x - (x - \frac{x^3}{6} + O(x^5))}{{x}^{2}(2x - 2x^2 + O(x^3))}$$
步骤 3：简化表达式
简化上述表达式，我们得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\frac{x^3}{6} + O(x^5)}{2x^3 - 2x^4 + O(x^5)}$$
步骤 4：提取公因子
提取公因子 $x^3$，我们得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\frac{1}{6} + O(x^2)}{2 - 2x + O(x^2)}$$
步骤 5：计算极限
当 $x$ 趋于 $0$ 时，$O(x^2)$ 和 $O(x^3)$ 都趋于 $0$，因此我们得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\frac{1}{6}}{2} = \frac{1}{12}$$