求幂级数sum _(k=0)^infty dfrac ({(-1))^n(x)^n}(sqrt {1+{n)^2}}的收敛半径、收敛区间和收敛域。

考查要点：本题主要考查幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求解方法，涉及比值法（根值法）的应用，以及端点收敛性的判断。

解题核心思路：

1. 确定收敛半径：利用比值法或根值法求极限，得到收敛半径$R$。
2. 确定收敛区间：根据收敛半径，初步判断区间为$(-R, R)$。
3. 验证端点收敛性：分别代入$x=R$和$x=-R$，通过交错级数判别法或比较判别法判断级数是否收敛。

破题关键点：

• 正确应用比值法：注意通项中$(-1)^n$的绝对值处理。
• 端点$x=1$的收敛性：利用莱布尼茨判别法判断交错级数收敛。
• 端点$x=-1$的收敛性：通过与调和级数比较，判断级数发散。

步骤1：求收敛半径

设通项系数为$a_n = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{1+n^2}}$，应用比值法：
$\rho = \lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{1+(n+1)^2}}}{\dfrac{1}{\sqrt{1+n^2}}} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\sqrt{1+n^2}}{\sqrt{1+(n+1)^2}} = 1.$
因此，收敛半径为：
$R = \dfrac{1}{\rho} = 1.$

步骤2：求收敛区间

初步判断收敛区间为$(-1, 1)$，需验证端点$x=1$和$x=-1$。

步骤3：验证端点$x=1$

级数变为：
$\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{1+n^2}}.$
通项$\dfrac{1}{\sqrt{1+n^2}}$单调递减且极限为$0$，由莱布尼茨判别法知级数收敛。

步骤4：验证端点$x=-1$

级数变为：
$\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{\sqrt{1+n^2}}.$
当$n$较大时，$\dfrac{1}{\sqrt{1+n^2}} \approx \dfrac{1}{n}$，与发散的调和级数$\sum \dfrac{1}{n}$比较，由比较判别法知级数发散。