题目
(7) dfrac (dy)(dx)=dfrac (2{x)^3+3x(y)^2+x}(3{x)^2y+2(y)^3-y}
题目解答
答案
解析
步骤 1：方程改写
原方程 $\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {2{x}^{3}+3x{y}^{2}+x}{3{x}^{2}y+2{y}^{3}-y}$ 可以改写为 $\dfrac {d({y}^{2}+1)}{d({x}^{2}-1)}=\dfrac {2({x}^{2}-1)+3({y}^{2}+1)}{3({x}^{2}-1)+2({y}^{2}+1)}$。这里我们引入了新的变量 $t={x}^{2}-1$ 和 $s={y}^{2}+1$，从而将原方程转化为关于 $t$ 和 $s$ 的方程。
步骤 2：化为齐次方程
通过上述变换，原方程化为齐次方程 $\dfrac {ds}{dt}=\dfrac {2t+3s}{3t+2s}$。接下来，我们引入新的变量 $s=wt$，其中 $w$ 是 $t$ 的函数，从而将方程进一步简化。
步骤 3：求解微分方程
将 $s=wt$ 代入齐次方程，得到 $t\dfrac {dw}{dt}=\dfrac {2-2{w}^{2}}{3+2w}$。分离变量后，得到 $\dfrac {dt}{t}=\dfrac {3+2w}{2(1-{w}^{2})}dw=\dfrac {1}{4}(\dfrac {5}{1-w}+\dfrac {1}{1+w})dw$。对两边积分，得到 $-\dfrac {5}{4}ln|1-w|+\dfrac {1}{4}ln|1+w|=\ln |t|+C$，其中 $C$ 是积分常数。整理得到 $(1+w)^{1/4}(1-w)^{-5/4}=ct$，其中 $c=e^{C}$。将 $w=s/t$ 代回，得到 $t+s=c{(t-s)}^{5}$。最后，将 $t={x}^{2}-1$ 和 $s={y}^{2}+1$ 代回，得到通解 ${x}^{2}+{y}^{2}=c{({x}^{2}-{y}^{2}-2)}^{5}$，其中 $c$ 为任意常数。
原方程 $\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {2{x}^{3}+3x{y}^{2}+x}{3{x}^{2}y+2{y}^{3}-y}$ 可以改写为 $\dfrac {d({y}^{2}+1)}{d({x}^{2}-1)}=\dfrac {2({x}^{2}-1)+3({y}^{2}+1)}{3({x}^{2}-1)+2({y}^{2}+1)}$。这里我们引入了新的变量 $t={x}^{2}-1$ 和 $s={y}^{2}+1$，从而将原方程转化为关于 $t$ 和 $s$ 的方程。
步骤 2：化为齐次方程
通过上述变换，原方程化为齐次方程 $\dfrac {ds}{dt}=\dfrac {2t+3s}{3t+2s}$。接下来，我们引入新的变量 $s=wt$，其中 $w$ 是 $t$ 的函数，从而将方程进一步简化。
步骤 3：求解微分方程
将 $s=wt$ 代入齐次方程，得到 $t\dfrac {dw}{dt}=\dfrac {2-2{w}^{2}}{3+2w}$。分离变量后，得到 $\dfrac {dt}{t}=\dfrac {3+2w}{2(1-{w}^{2})}dw=\dfrac {1}{4}(\dfrac {5}{1-w}+\dfrac {1}{1+w})dw$。对两边积分，得到 $-\dfrac {5}{4}ln|1-w|+\dfrac {1}{4}ln|1+w|=\ln |t|+C$，其中 $C$ 是积分常数。整理得到 $(1+w)^{1/4}(1-w)^{-5/4}=ct$，其中 $c=e^{C}$。将 $w=s/t$ 代回，得到 $t+s=c{(t-s)}^{5}$。最后，将 $t={x}^{2}-1$ 和 $s={y}^{2}+1$ 代回，得到通解 ${x}^{2}+{y}^{2}=c{({x}^{2}-{y}^{2}-2)}^{5}$，其中 $c$ 为任意常数。