题目
2.3.6 作用在质量为10kg的物体上的力为-|||-=(10+2t)i(N), 式中t的单位是s.(1)求4s-|||-后,这物体的动量和速度的变化,以及力给予物体-|||-的冲量;(2)为了使这力的冲量为200N·s,该力盛-|||-在这物体上作用多久.
题目解答
答案
见解析解析动量m=「Fd,四秒内的动量即为在 (0,4) 上积分,得 mv=f ī t=56 kgm/s ,四秒后动量变化即为在 (4,t) 上积分, \\triangle{mu}=10 t+t^{2}-56 kgm/s ,冲量即等于变化的动量,速度变化(2)冲量为 200 N/m,m=10 t+t^{2}=200,t=10 s
解析
步骤 1：计算4秒后的动量变化
动量变化等于力的冲量，即力在时间上的积分。根据题目，力F=(10+2t)i(N)，其中t的单位是秒。因此，动量变化为：
\[ \Delta p = \int_{0}^{4} (10+2t) dt \]
步骤 2：计算积分
\[ \Delta p = \int_{0}^{4} (10+2t) dt = [10t + t^2]_{0}^{4} = (10 \times 4 + 4^2) - (10 \times 0 + 0^2) = 40 + 16 = 56 \, \text{kgm/s} \]
步骤 3：计算4秒后的速度变化
动量变化等于质量乘以速度变化，即 \(\Delta p = m \Delta v\)。因此，速度变化为：
\[ \Delta v = \frac{\Delta p}{m} = \frac{56}{10} = 5.6 \, \text{m/s} \]
步骤 4：计算力的冲量
力的冲量等于动量变化，即56 N·s。
步骤 5：计算使力的冲量为200 N·s所需的时间
根据冲量的定义，冲量等于力在时间上的积分。设力作用时间为T，则有：
\[ 200 = \int_{0}^{T} (10+2t) dt = [10t + t^2]_{0}^{T} = 10T + T^2 \]
步骤 6：解方程
\[ T^2 + 10T - 200 = 0 \]
解这个一元二次方程，得到：
\[ T = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 + 4 \times 200}}{2} = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 800}}{2} = \frac{-10 \pm \sqrt{900}}{2} = \frac{-10 \pm 30}{2} \]
取正值，得到：
\[ T = \frac{20}{2} = 10 \, \text{s} \]
动量变化等于力的冲量，即力在时间上的积分。根据题目，力F=(10+2t)i(N)，其中t的单位是秒。因此，动量变化为：
\[ \Delta p = \int_{0}^{4} (10+2t) dt \]
步骤 2：计算积分
\[ \Delta p = \int_{0}^{4} (10+2t) dt = [10t + t^2]_{0}^{4} = (10 \times 4 + 4^2) - (10 \times 0 + 0^2) = 40 + 16 = 56 \, \text{kgm/s} \]
步骤 3：计算4秒后的速度变化
动量变化等于质量乘以速度变化，即 \(\Delta p = m \Delta v\)。因此，速度变化为：
\[ \Delta v = \frac{\Delta p}{m} = \frac{56}{10} = 5.6 \, \text{m/s} \]
步骤 4：计算力的冲量
力的冲量等于动量变化，即56 N·s。
步骤 5：计算使力的冲量为200 N·s所需的时间
根据冲量的定义，冲量等于力在时间上的积分。设力作用时间为T，则有：
\[ 200 = \int_{0}^{T} (10+2t) dt = [10t + t^2]_{0}^{T} = 10T + T^2 \]
步骤 6：解方程
\[ T^2 + 10T - 200 = 0 \]
解这个一元二次方程，得到：
\[ T = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 + 4 \times 200}}{2} = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 800}}{2} = \frac{-10 \pm \sqrt{900}}{2} = \frac{-10 \pm 30}{2} \]
取正值，得到：
\[ T = \frac{20}{2} = 10 \, \text{s} \]