题目

2.3.6 作用在质量为10kg的物体上的力为-|||-=(10+2t)i(N), 式中t的单位是s.(1)求4s-|||-后,这物体的动量和速度的变化,以及力给予物体-|||-的冲量;(2)为了使这力的冲量为200N·s,该力盛-|||-在这物体上作用多久.

题目解答

答案

见解析解析动量m=「Fd,四秒内的动量即为在 (0,4) 上积分,得 mv=f ī t=56 kgm/s ,四秒后动量变化即为在 (4,t) 上积分, \\triangle{mu}=10 t+t^{2}-56 kgm/s ,冲量即等于变化的动量,速度变化(2)冲量为 200 N/m,m=10 t+t^{2}=200,t=10 s

解析

考查要点：本题主要考查动量定理的应用，涉及变力的冲量计算及动量变化的求解。
解题核心思路：

  1. 冲量等于动量的变化，即 $\vec{I} = \Delta \vec{p} = \int \vec{F} \, dt$。
  2. 对于变力 $F(t)$，需通过积分计算冲量，进而求出动量变化和速度变化。
    破题关键点：
  • 正确建立积分表达式，注意积分上下限对应时间范围。
  • 第二问需解二次方程，注意舍去负根。

第（1）题

计算冲量

根据动量定理，冲量 $\vec{I} = \int_{0}^{4} (10 + 2t) \, dt$：
$\begin{aligned}\vec{I} &= \left[ 10t + t^2 \right]_{0}^{4} \\&= (10 \cdot 4 + 4^2) - (0) \\&= 56 \, \text{N·s}.\end{aligned}$

求动量变化

由 $\Delta \vec{p} = \vec{I}$，得动量变化为 $56 \, \text{kg·m/s}$。

求速度变化

动量变化 $\Delta p = m \Delta v$，故：
$\Delta v = \frac{\Delta p}{m} = \frac{56}{10} = 5.6 \, \text{m/s}.$

第（2）题

建立方程

设作用时间为 $t$，则冲量 $\vec{I} = \int_{0}^{t} (10 + 2t) \, dt = 200$：
$\begin{aligned}10t + t^2 &= 200 \\t^2 + 10t - 200 &= 0.\end{aligned}$

解二次方程

判别式 $\Delta = 10^2 + 4 \cdot 200 = 900$，根为：
$t = \frac{-10 \pm \sqrt{900}}{2} = \frac{-10 \pm 30}{2}.$
取正根 $t = \frac{20}{2} = 10 \, \text{s}$。