(2)设隐函数 y=y(x) 由方程 ^2(x-y)=(x)^2 所确定,则 int dfrac (dx)({y)^2}= __ 。。

考查要点：本题主要考查隐函数的积分计算，需要通过参数替换法将原方程转化为参数形式，进而简化积分过程。

解题核心思路：

1. 参数替换：设$y = tx$，将原方程转化为关于$t$的表达式，求出$x$和$y$关于$t$的显式表达式。
2. 计算微分$dx$：对$x$关于$t$求导，得到$dx$的表达式。
3. 代入积分：将$\frac{1}{y^2}$和$dx$代入积分，化简后对$t$积分。
4. 回代变量：将积分结果用$x$和$y$表示，得到最终答案。

破题关键点：

• 选择合适的参数$t$，使得原方程可解。
• 正确计算导数和微分，避免代数错误。
• 积分化简时注意约分和对数性质的应用。

参数替换与方程转化

设$y = tx$，代入原方程$y^2(x - y) = x^2$：
$(t x)^2 (x - t x) = x^2 \implies t^2 x^3 (1 - t) = x^2 \implies x = \frac{1}{t^2 (1 - t)}.$
因此，$y = t x = \frac{1}{t (1 - t)}$。

计算微分$dx$

对$x = \frac{1}{t^2 (1 - t)}$求导：
$\frac{dx}{dt} = -\frac{2t(1 - t) + t^2}{t^4 (1 - t)^2} = -\frac{2t - 3t^2}{t^4 (1 - t)^2} = \frac{3t - 2}{t^3 (1 - t)^2}.$
故$dx = \frac{3t - 2}{t^3 (1 - t)^2} dt$。

积分化简与计算

原积分$\int \frac{dx}{y^2}$代入参数表达式：
$\frac{1}{y^2} = t^2 (1 - t)^2, \quad dx = \frac{3t - 2}{t^3 (1 - t)^2} dt.$
积分变为：
$\int t^2 (1 - t)^2 \cdot \frac{3t - 2}{t^3 (1 - t)^2} dt = \int \frac{3t - 2}{t} dt = \int \left(3 - \frac{2}{t}\right) dt = 3t - 2 \ln t + C.$

回代变量

令$t = \frac{y}{x}$，代入结果：
$3t - 2 \ln t + C = \frac{3y}{x} - 2 \ln \left(\frac{y}{x}\right) + C = \frac{3y}{x} - \ln \left(\frac{y}{x}\right)^2 + C.$