题目
5.设二维连续型随机向量(X,Y)的联合概率密度为-|||-f(x,y)= ) (e)^-y,0lt xlt y .-|||-则(X,Y)关于Y的边缘概率密度函数为-|||-(A) _(Y)(y)=y(e)^-y; (B) _(y)(y)=(e)^-y;-|||-(C) _(y)(y)= ) 0,ylt 0 y(e)^-y,ygeqslant 0 .
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定边缘概率密度函数的定义
边缘概率密度函数 ${f}_{Y}(y)$ 是通过将联合概率密度函数 $f(x,y)$ 在所有可能的 $x$ 值上积分得到的。对于给定的 $y$ 值，边缘概率密度函数 ${f}_{Y}(y)$ 可以表示为：
${f}_{Y}(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) dx$
步骤 2：根据给定的联合概率密度函数计算边缘概率密度函数
根据题目中给出的联合概率密度函数 $f(x,y) = \left \{ \begin{matrix} {e}^{-y},0\lt x\lt y\\ 0,\end{matrix} \right.$，我们只在 $0 < x < y$ 的范围内积分，因为在这个范围外 $f(x,y) = 0$。因此，边缘概率密度函数 ${f}_{Y}(y)$ 可以表示为：
${f}_{Y}(y) = \int_{0}^{y} {e}^{-y} dx$
步骤 3：计算积分
计算积分 ${f}_{Y}(y) = \int_{0}^{y} {e}^{-y} dx$，我们得到：
${f}_{Y}(y) = {e}^{-y} \int_{0}^{y} dx = {e}^{-y} [x]_{0}^{y} = {e}^{-y} (y - 0) = y{e}^{-y}$
步骤 4：确定边缘概率密度函数的定义域
根据题目中给出的联合概率密度函数 $f(x,y)$ 的定义域，我们有 $0 < x < y$，因此 $y$ 的取值范围为 $y \geqslant 0$。因此，边缘概率密度函数 ${f}_{Y}(y)$ 的定义域为 $y \geqslant 0$。
边缘概率密度函数 ${f}_{Y}(y)$ 是通过将联合概率密度函数 $f(x,y)$ 在所有可能的 $x$ 值上积分得到的。对于给定的 $y$ 值，边缘概率密度函数 ${f}_{Y}(y)$ 可以表示为：
${f}_{Y}(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) dx$
步骤 2：根据给定的联合概率密度函数计算边缘概率密度函数
根据题目中给出的联合概率密度函数 $f(x,y) = \left \{ \begin{matrix} {e}^{-y},0\lt x\lt y\\ 0,\end{matrix} \right.$，我们只在 $0 < x < y$ 的范围内积分，因为在这个范围外 $f(x,y) = 0$。因此，边缘概率密度函数 ${f}_{Y}(y)$ 可以表示为：
${f}_{Y}(y) = \int_{0}^{y} {e}^{-y} dx$
步骤 3：计算积分
计算积分 ${f}_{Y}(y) = \int_{0}^{y} {e}^{-y} dx$，我们得到：
${f}_{Y}(y) = {e}^{-y} \int_{0}^{y} dx = {e}^{-y} [x]_{0}^{y} = {e}^{-y} (y - 0) = y{e}^{-y}$
步骤 4：确定边缘概率密度函数的定义域
根据题目中给出的联合概率密度函数 $f(x,y)$ 的定义域，我们有 $0 < x < y$，因此 $y$ 的取值范围为 $y \geqslant 0$。因此，边缘概率密度函数 ${f}_{Y}(y)$ 的定义域为 $y \geqslant 0$。