题目
微分方程y.+2y=4x满足初始条件y|x=0=0的特解是A. y=2x+1+e^(-2x)B. y=2x-1+e^(-2x)C. y=-2x+1+e^(-2x)D. y=-2x-1+e^(-2x)
微分方程y.+2y=4x满足初始条件y|x=0=0的特解是
- A. y=2x+1+e^(-2x)
- B. y=2x-1+e^(-2x)
- C. y=-2x+1+e^(-2x)
- D. y=-2x-1+e^(-2x)
题目解答
答案
B
解析
步骤 1：求解齐次方程的通解
齐次方程为y'+2y=0，这是一个一阶线性齐次微分方程。其特征方程为r+2=0，解得r=-2。因此，齐次方程的通解为y_h=Ce^(-2x)，其中C为任意常数。
步骤 2：求解非齐次方程的特解
非齐次方程为y'+2y=4x。由于非齐次项为4x，我们假设特解形式为y_p=Ax+B，其中A和B为待定系数。将y_p代入原方程，得到(Ax+B)'+2(Ax+B)=4x，即A+2Ax+2B=4x。比较系数，得到A=2，B=-1。因此，特解为y_p=2x-1。
步骤 3：求解满足初始条件的特解
将齐次方程的通解和非齐次方程的特解相加，得到y=y_h+y_p=Ce^(-2x)+2x-1。根据初始条件y|x=0=0，代入x=0，得到C-1=0，解得C=1。因此，满足初始条件的特解为y=e^(-2x)+2x-1。
齐次方程为y'+2y=0，这是一个一阶线性齐次微分方程。其特征方程为r+2=0，解得r=-2。因此，齐次方程的通解为y_h=Ce^(-2x)，其中C为任意常数。
步骤 2：求解非齐次方程的特解
非齐次方程为y'+2y=4x。由于非齐次项为4x，我们假设特解形式为y_p=Ax+B，其中A和B为待定系数。将y_p代入原方程，得到(Ax+B)'+2(Ax+B)=4x，即A+2Ax+2B=4x。比较系数，得到A=2，B=-1。因此，特解为y_p=2x-1。
步骤 3：求解满足初始条件的特解
将齐次方程的通解和非齐次方程的特解相加，得到y=y_h+y_p=Ce^(-2x)+2x-1。根据初始条件y|x=0=0，代入x=0，得到C-1=0，解得C=1。因此，满足初始条件的特解为y=e^(-2x)+2x-1。