计算int_(L)(x+y)dx+(y-x)dy，其中L是：曲线x=2t^2+t+1，y=t^2+1上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧.

考查要点：本题主要考查第二类曲线积分的计算，需要将参数方程代入积分表达式，转化为定积分求解。

解题思路：

1. 参数方程确定积分上下限：根据曲线起点和终点坐标，求出对应的参数$t$的取值范围。
2. 计算微分$dx$和$dy$：对参数方程求导，得到$dx$和$dy$的表达式。
3. 代入积分表达式：将$x$、$y$、$dx$、$dy$全部用参数$t$表示，转化为关于$t$的定积分。
4. 化简并计算定积分：展开被积函数，逐项积分后求和。

关键点：

• 参数范围的确定：通过代入起点和终点坐标求出$t$的值。
• 微分计算：正确求导参数方程得到$dx$和$dy$。
• 代数化简：展开并合并同类项，避免计算错误。

参数方程与积分上下限

曲线参数方程为：
$x = 2t^2 + t + 1, \quad y = t^2 + 1$

• 起点$(1,1)$：代入$x=1$得$2t^2 + t + 1 = 1 \Rightarrow t=0$，对应$y=1$。
• 终点$(4,2)$：代入$x=4$得$2t^2 + t + 1 = 4 \Rightarrow t=1$，对应$y=2$。
  因此，积分上下限为$t=0$到$t=1$。

计算微分$dx$和$dy$

对参数方程求导：
$dx = (4t + 1)dt, \quad dy = 2t \, dt$

代入积分表达式

将$x+y$和$y-x$代入原积分：
$\begin{aligned}x + y &= (2t^2 + t + 1) + (t^2 + 1) = 3t^2 + t + 2, \\y - x &= (t^2 + 1) - (2t^2 + t + 1) = -t^2 - t.\end{aligned}$
原积分转化为：
$\int_{0}^{1} \left[ (3t^2 + t + 2)(4t + 1) + (-t^2 - t)(2t) \right] dt$

化简被积函数

展开并合并同类项：
$\begin{aligned}(3t^2 + t + 2)(4t + 1) &= 12t^3 + 7t^2 + 9t + 2, \\(-t^2 - t)(2t) &= -2t^3 - 2t^2, \\\text{总和} &= 10t^3 + 5t^2 + 9t + 2.\end{aligned}$

计算定积分

逐项积分：
$\int_{0}^{1} (10t^3 + 5t^2 + 9t + 2) dt = \left[ \frac{5t^4}{2} + \frac{5t^3}{3} + \frac{9t^2}{2} + 2t \right]_{0}^{1}$
代入上下限：
$\frac{5}{2} + \frac{5}{3} + \frac{9}{2} + 2 = \frac{32}{3}$