题目

7.不定积分int(1)/(sqrt(9-x^2))dx=_____.

7.不定积分$\int\frac{1}{\sqrt{9-x^{2}}}dx=$_____.

题目解答

答案

令 $x = 3\sin\theta$，则 $dx = 3\cos\theta\,d\theta$。代入得
$\int \frac{1}{\sqrt{9 - x^2}}\,dx = \int \frac{1}{\sqrt{9 - 9\sin^2\theta}} \cdot 3\cos\theta\,d\theta = \int \frac{1}{3\cos\theta} \cdot 3\cos\theta\,d\theta = \int 1\,d\theta = \theta + C.$
由 $x = 3\sin\theta$，得 $\theta = \arcsin\frac{x}{3}$，故
$\int \frac{1}{\sqrt{9 - x^2}}\,dx = \arcsin\frac{x}{3} + C.$
答案： $\boxed{\arcsin\frac{x}{3} + C}$（或等价表示 $\boxed{-\arccos\frac{x}{3} + C'}$）。

解析

本题考查不定积分的计算，解题思路是利用换元积分法，通过三角函数代换将被积函数化简，然后进行积分运算，最后再将代换变量还原为原变量。

  1. 进行三角函数代换：
    • 令$x = 3\sin\theta$，对$x$求微分，根据求导公式$(\sin\theta)^\prime=\cos\theta$以及复合函数求导法则，可得$dx = 3\cos\theta\,d\theta$。
  2. 将代换后的式子代入原积分：
    • 把$x = 3\sin\theta$和$dx = 3\cos\theta\,d\theta$代入$\int\frac{1}{\sqrt{9 - x^2}}dx$中，得到$\int\frac{1}{\sqrt{9 - (3\sin\theta)^2}}\cdot 3\cos\theta\,d\theta$。
    • 对根号内的式子进行化简：$9-(3\sin\theta)^2 = 9 - 9\sin^2\theta=9(1 - \sin^2\theta)$。
    • 根据三角函数的平方关系$\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta = 1$，即$1-\sin^{2}\theta=\cos^{2}\theta$，所以$\sqrt{9(1 - \sin^2\theta)}=\sqrt{9\cos^{2}\theta}=3\vert\cos\theta\vert$。
    • 因为在不定积分中，我们通常考虑$\theta$的取值范围使得$\cos\theta\geq0$，此时$\sqrt{9(1 - \sin^2\theta)} = 3\cos\theta$，则原积分变为$\int\frac{1}{3\cos\theta}\cdot 3\cos\theta\,d\theta$。
  3. 化简并计算积分：
    • 对$\int\frac{1}{3\cos\theta}\cdot 3\cos\theta\,d\theta$进行化简，$\frac{1}{3\cos\theta}\cdot 3\cos\theta = 1$，所以积分变为$\int 1\,d\theta$。
    • 根据积分公式$\int 1\,d\theta=\theta + C$（$C$为积分常数）。
  4. 将$\theta$还原为$x$：
    • 由$x = 3\sin\theta$，根据反正弦函数的定义，可得$\theta=\arcsin\frac{x}{3}$。
    • 所以$\int\frac{1}{\sqrt{9 - x^2}}dx=\arcsin\frac{x}{3}+C$。
    • 又因为$\arcsin t+\arccos t=\frac{\pi}{2}$，即$\arcsin\frac{x}{3}=-\arccos\frac{x}{3}+\frac{\pi}{2}$，令$C'=C + \frac{\pi}{2}$，则$\int\frac{1}{\sqrt{9 - x^2}}dx=-\arccos\frac{x}{3}+C'$。