题目
3.在曲线 =(x)^2-x 上求一点P,使P点到定点A(0,1)的距离最近.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定距离公式
点P(x, y)到点A(0, 1)的距离公式为 $d=\sqrt{(x-0)^2 + (y-1)^2} = \sqrt{x^2 + (y-1)^2}$。由于点P在曲线 $y=x^2-x$ 上，所以 $y=x^2-x$，代入距离公式得到 $d=\sqrt{x^2 + (x^2-x-1)^2}$。
步骤 2：求导数
为了找到距离的最小值，我们需要对距离函数求导。令 $d(x) = \sqrt{x^2 + (x^2-x-1)^2}$，则 $d'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + (x^2-x-1)^2}} \cdot (2x + 2(x^2-x-1)(2x-1))$。
步骤 3：求导数为0的点
令 $d'(x) = 0$，解方程 $2x + 2(x^2-x-1)(2x-1) = 0$，得到 $x_1 = -\frac{1}{2}$ 和 $x_2 = 1$。
步骤 4：比较距离
计算 $d(-\frac{1}{2})$ 和 $d(1)$，比较它们的大小，确定哪个点到A点的距离最近。由于 $d(-\frac{1}{2}) < d(1)$，所以点P为 $(-\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$ 时，P点到A点的距离最小。
点P(x, y)到点A(0, 1)的距离公式为 $d=\sqrt{(x-0)^2 + (y-1)^2} = \sqrt{x^2 + (y-1)^2}$。由于点P在曲线 $y=x^2-x$ 上，所以 $y=x^2-x$，代入距离公式得到 $d=\sqrt{x^2 + (x^2-x-1)^2}$。
步骤 2：求导数
为了找到距离的最小值，我们需要对距离函数求导。令 $d(x) = \sqrt{x^2 + (x^2-x-1)^2}$，则 $d'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + (x^2-x-1)^2}} \cdot (2x + 2(x^2-x-1)(2x-1))$。
步骤 3：求导数为0的点
令 $d'(x) = 0$，解方程 $2x + 2(x^2-x-1)(2x-1) = 0$，得到 $x_1 = -\frac{1}{2}$ 和 $x_2 = 1$。
步骤 4：比较距离
计算 $d(-\frac{1}{2})$ 和 $d(1)$，比较它们的大小，确定哪个点到A点的距离最近。由于 $d(-\frac{1}{2}) < d(1)$，所以点P为 $(-\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$ 时，P点到A点的距离最小。