题目
曲线 (x-1)-|||-C. =dfrac {1)(ln 3)(x-1)+1 D. =ln dfrac (1)(3)(x-1)
题目解答
答案
解析
步骤 1：求导数
首先，我们需要求出参数方程的导数。给定的参数方程为：
$$
\left \{ \begin{matrix} x={3}^{t},\\ y=\tan t\end{matrix} \right.
$$
对 $x$ 和 $y$ 分别关于 $t$ 求导，得到：
$$
\dfrac {dx}{dt} = 3^{t} \ln 3
$$
$$
\dfrac {dy}{dt} = \sec^{2} t
$$
步骤 2：求切线斜率
切线斜率 $y'$ 可以通过 $\dfrac {dy}{dx}$ 来表示，即：
$$
y' = \dfrac {\dfrac {dy}{dt}}{\dfrac {dx}{dt}} = \dfrac {\sec^{2} t}{3^{t} \ln 3}
$$
步骤 3：计算 t=0 时的切线斜率
将 $t=0$ 代入切线斜率的表达式中，得到：
$$
y'{|}_{t=0} = \dfrac {\sec^{2} 0}{3^{0} \ln 3} = \dfrac {1}{\ln 3}
$$
步骤 4：确定切点坐标
当 $t=0$ 时，$x=3^{0}=1$，$y=\tan 0=0$，所以切点坐标为 $(1,0)$。
步骤 5：写出切线方程
根据点斜式方程 $y-y_{1}=m(x-x_{1})$，其中 $(x_{1},y_{1})$ 为切点坐标，$m$ 为切线斜率，代入得到：
$$
y-0 = \dfrac {1}{\ln 3}(x-1)
$$
化简得到切线方程为：
$$
y = \dfrac {1}{\ln 3}(x-1)
$$
首先，我们需要求出参数方程的导数。给定的参数方程为：
$$
\left \{ \begin{matrix} x={3}^{t},\\ y=\tan t\end{matrix} \right.
$$
对 $x$ 和 $y$ 分别关于 $t$ 求导，得到：
$$
\dfrac {dx}{dt} = 3^{t} \ln 3
$$
$$
\dfrac {dy}{dt} = \sec^{2} t
$$
步骤 2：求切线斜率
切线斜率 $y'$ 可以通过 $\dfrac {dy}{dx}$ 来表示，即：
$$
y' = \dfrac {\dfrac {dy}{dt}}{\dfrac {dx}{dt}} = \dfrac {\sec^{2} t}{3^{t} \ln 3}
$$
步骤 3：计算 t=0 时的切线斜率
将 $t=0$ 代入切线斜率的表达式中，得到：
$$
y'{|}_{t=0} = \dfrac {\sec^{2} 0}{3^{0} \ln 3} = \dfrac {1}{\ln 3}
$$
步骤 4：确定切点坐标
当 $t=0$ 时，$x=3^{0}=1$，$y=\tan 0=0$，所以切点坐标为 $(1,0)$。
步骤 5：写出切线方程
根据点斜式方程 $y-y_{1}=m(x-x_{1})$，其中 $(x_{1},y_{1})$ 为切点坐标，$m$ 为切线斜率，代入得到：
$$
y-0 = \dfrac {1}{\ln 3}(x-1)
$$
化简得到切线方程为：
$$
y = \dfrac {1}{\ln 3}(x-1)
$$