题目
2.设函数y(x)满足方程 (cos )^2xcdot y'+y=1, 当 =dfrac (pi )(4) 时 =0, 则当 x=0 时 =-|||-(A) 1-e (B) 1+e (C) e-1 (D)1
题目解答
答案
解析
步骤 1：分离变量
给定方程为 ${\cos }^{2}x\cdot y'+y=1$，可以改写为 $y' + \frac{y}{{\cos }^{2}x} = \frac{1}{{\cos }^{2}x}$。这是一个一阶线性微分方程，其中 $P(x) = \frac{1}{{\cos }^{2}x}$，$Q(x) = \frac{1}{{\cos }^{2}x}$。
步骤 2：求解微分方程
一阶线性微分方程的通解公式为 $y = e^{-\int P(x)dx} \left( \int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C \right)$。这里，$P(x) = \frac{1}{{\cos }^{2}x} = \sec^2x$，$Q(x) = \sec^2x$。因此，$e^{-\int P(x)dx} = e^{-\int \sec^2x dx} = e^{-\tan x}$。所以，$y = e^{-\tan x} \left( \int \sec^2x e^{\tan x} dx + C \right)$。注意到 $\int \sec^2x e^{\tan x} dx = e^{\tan x}$，因此 $y = e^{-\tan x} (e^{\tan x} + C) = 1 + Ce^{-\tan x}$。
步骤 3：利用初始条件求解常数
当 $x=\frac{\pi}{4}$ 时，$y=0$，代入得 $0 = 1 + Ce^{-\tan \frac{\pi}{4}} = 1 + Ce^{-1}$，解得 $C = -e$。因此，$y = 1 - e e^{-\tan x} = 1 - e^{1-\tan x}$。
步骤 4：求解当 $x=0$ 时的 $y$ 值
当 $x=0$ 时，$y = 1 - e^{1-\tan 0} = 1 - e^{1-0} = 1 - e$。
给定方程为 ${\cos }^{2}x\cdot y'+y=1$，可以改写为 $y' + \frac{y}{{\cos }^{2}x} = \frac{1}{{\cos }^{2}x}$。这是一个一阶线性微分方程，其中 $P(x) = \frac{1}{{\cos }^{2}x}$，$Q(x) = \frac{1}{{\cos }^{2}x}$。
步骤 2：求解微分方程
一阶线性微分方程的通解公式为 $y = e^{-\int P(x)dx} \left( \int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C \right)$。这里，$P(x) = \frac{1}{{\cos }^{2}x} = \sec^2x$，$Q(x) = \sec^2x$。因此，$e^{-\int P(x)dx} = e^{-\int \sec^2x dx} = e^{-\tan x}$。所以，$y = e^{-\tan x} \left( \int \sec^2x e^{\tan x} dx + C \right)$。注意到 $\int \sec^2x e^{\tan x} dx = e^{\tan x}$，因此 $y = e^{-\tan x} (e^{\tan x} + C) = 1 + Ce^{-\tan x}$。
步骤 3：利用初始条件求解常数
当 $x=\frac{\pi}{4}$ 时，$y=0$，代入得 $0 = 1 + Ce^{-\tan \frac{\pi}{4}} = 1 + Ce^{-1}$，解得 $C = -e$。因此，$y = 1 - e e^{-\tan x} = 1 - e^{1-\tan x}$。
步骤 4：求解当 $x=0$ 时的 $y$ 值
当 $x=0$ 时，$y = 1 - e^{1-\tan 0} = 1 - e^{1-0} = 1 - e$。