题目

15.(本题满分10分).-|||-求曲线 =dfrac ({x)^1+x}({(1+x))^x}(xgt 0) 的斜渐近线。

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查斜渐近线的求解方法，涉及极限的计算和泰勒展开的应用。

解题核心思路：

  1. 斜渐近线方程的形式为$y = kx + b$，其中斜率$k$由$\lim_{x \to \infty} \frac{y}{x}$确定，截距$b$由$\lim_{x \to \infty} (y - kx)$确定。
  2. 关键步骤：
    • 计算$k$：将函数表达式代入$\frac{y}{x}$，通过变形和极限公式（如$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$）化简。
    • 计算$b$：将$y$展开为$kx + b + o(1)$的形式，通过泰勒展开或变量替换精确计算常数项。

破题关键点：

  • 识别极限形式：将$\frac{x}{1+x}$转化为$\left(1 - \frac{1}{1+x}\right)$，利用自然指数的极限性质。
  • 高阶展开：在计算$b$时，需对表达式进行二阶泰勒展开，提取常数项。

求斜率$k$

  1. 表达式代入：
    $k = \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^{1+x}}{x \cdot (1+x)^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^x}{(1+x)^x} = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{1+x}\right)^x.$

  2. 变形化简：
    $\frac{x}{1+x} = 1 - \frac{1}{1+x} \implies \left(1 - \frac{1}{1+x}\right)^x.$

  3. 极限计算：
    令$t = \frac{1}{x}$，当$x \to \infty$时，$t \to 0$，则：
    $\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{1+x}\right)^x = \lim_{t \to 0} \left(1 - t\right)^{\frac{1}{t}} = \frac{1}{e}.$
    因此，$k = \frac{1}{e}$。

求截距$b$

  1. 表达式展开：
    $y = \frac{x^{1+x}}{(1+x)^x} = x \cdot \left(\frac{x}{1+x}\right)^x = x \cdot \left(1 - \frac{1}{1+x}\right)^x.$

  2. 泰勒展开：
    令$t = \frac{1}{x}$，则$\frac{1}{1+x} = \frac{t}{1+t}$，当$x \to \infty$时，$t \to 0$：
    $\left(1 - \frac{t}{1+t}\right)^{1/t} = \left(1 - t + t^2 - \cdots\right)^{1/t} \approx e^{-1} \left(1 + \frac{t}{2} + \cdots\right).$

  3. 代入展开式：
    $y \approx x \cdot \frac{1}{e} \left(1 + \frac{1}{2x}\right) = \frac{x}{e} + \frac{1}{2e}.$

  4. 计算$b$：
    $b = \lim_{x \to \infty} \left(y - \frac{1}{e}x\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{2e} = \frac{1}{2e}.$