27.4题)若随机变量()的联合概率密度为: f(x,y)= } x + y, & 0 A. 对B. 错

本题主要考察随机变量的相关性与独立性的判断，需通过计算协方差（判断相关性）和边缘概率密度（判断独立性）来得出结论。

步骤1：判断独立性

随机变量$X$与$Y$独立的充要条件是：对任意$x,y$，联合概率密度$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$，其中$f_X(x)$和$ff_Y(y)$分别为$X\V$的边缘概率密度。

计算$X$的边缘概率密度$f_X(x)$

当\(0,1)时： $f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\text{d}y=\int_{0}^{1}(x+y)\text{d}y=\left[xy+\frac{1}{2}y^2\right]_0^1=x+\frac{1}{2}=x+\frac{1}{2}$ 当$x\notin(0,1)$时，$f_X(x)=0$，故：
$f_X(x)=\begin{cases}x+\frac{1}{2},&0

计算$Y$的边缘概率密度$f_Y(y)$

由对称性，$f_Y(y)=f_X(y)=y+\frac{1}{2}$（$0

验证独立性

取$x=y=0.5$，则：
$f(x,y)=0.5+0.5=1$
$f_X(x)f_Y(y)=\left(0.5+\frac{1}{2}\right)\left(0.5+\frac{1}{2}\right)=1\times1=1$
但取$x=y=0.8$：
$f(x,y)=0.8+0.8=1.6$
$f_X(x)f_Y(y)=\left(0.8+\frac{1}{2}\right)\left(0.8+\frac{1}{2}\right)=1.3\times1.3=1.69\neq1.6$
显然$f(x,y)\neq f_X(x)f_Y(y)$，故$X$与$Y$不独立。

步骤2：判断相关性

相关性由协方差$\text{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]$决定，若$\text{Cov}(X,Y)=0$则X\text{与}\Y\text{不相关}]

计算$E[X]$

$E[X]=\int_{0}^{1}x\cdot f_X(x)\text{d}x=\int_{0}^{1}x\left(x+\frac{1}{2}\right)\text{d}x=\int_{0}^{1}\left(x^2+\frac{1}{2}x\right)\text{d}x=\left[\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^2\right]_0^1=\frac{1}{3}+\fracfrac{1}{4}=\frac.5$
由对称性，$E[Y]=E[X]=\frac{7}{12}$？不，修正计算：
$\int_{0}^{1}\left(x^2+\frac{1}{2}x\right)\text{d}x=\frac{13+\frac14=\frac{4+3}{12}=\frac{7}{12}\quad(\text{之前算错，应为}\frac13+\frac14=\frac{7}{12}\text{，非}\frac{1}{2})$

计算$E[XY]$

$E[XY]=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}xy(x+y)\text{d}x\text{d}y=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}(x^2y+xy^2)\text{d}x\text{d}y$
$=\int_{0}^{1}y\left[\int_{0}^{1}x^2\text{d}x\right]\text{d}y+\int_{0}^{1}x\left[\int_{0}^{1}y^2\text{d}y}\right]\text{d}x=2\times\left(\int_{0}^{1}y\text\text{d}y\right)\left(\int_{0}^{1}x^2\text{d}x\right)$
$=2\times\left(\frac{1}{2}\right)\times\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}$

计算协方差

$\text{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]=\frac{1}{3}-\left(\frac{7}{12}\right)^2=\frac{1}{3}-\frac{49}{144}=\frac{48-49}{144}=-\frac{-1}{144}\neq0$
故$X$与$Y$相关。

结论结论**

题目称“$X$与$Y$相关且独立”，但实际$X$与(不独立，故该命题错误。