.https:/img.zuoyebang.cc/zyb_ce5e1ac85667f93b6b4e642000377ece.jpg-7. 如习题 1-7 图所示,在离水面高度为h的岸边,有人用绳子拉船靠岸,-|||-船在离岸边s距离处。人收绳的速率为v0。(1)从图中看出 dfrac (dr)(dt) 和 dfrac (dr)(dt) 各表示什-|||-么?(2)求船的速度与加速度各有多大。-|||-分析:在用绳拉船的过程中,绳上任一点的-|||-速度大小v0不变,而方向时时变化;船在水面运-|||-动速度的大小变化而方向始终不变。本题的要 h-|||-r-|||-点在于正确建立船速v与收绳速率v0的关系。-|||-解:(1)如解图 1-7(a) 所示,设t时刻船位 A

考查要点：本题主要考查运动的合成与分解，涉及相关变化率的应用，以及向心加速度的计算。
解题核心思路：

1. 建立几何关系：通过绳子长度 $r$、船到岸边的水平距离 $s$ 和岸边高度 $h$ 构造直角三角形，即 $r^2 = s^2 + h^2$。
2. 速度分解：将绳子的收绳速率 $v_0$ 分解为船的水平速度 $v$，需注意速度方向与几何关系的关联。
3. 加速度合成：船的加速度由向心加速度和切向加速度共同决定，但本题中切向加速度为零，最终加速度仅由向心加速度构成。

破题关键点：

• 正确关联变量：通过几何关系将 $r$ 和 $s$ 联系起来，利用链式法则求导。
• 速度方向分析：船的速度方向始终水平，需通过三角函数分解绳子的拉力速度。

第（1）题

物理量含义分析：

• $\dfrac{dr}{dt}$：若 $r$ 表示绳子的长度，则 $\dfrac{dr}{dt}$ 表示绳子被拉回的速率，即 $v_0$。
• $\dfrac{ds}{dt}$：若 $s$ 表示船到岸边的水平距离，则 $\dfrac{ds}{dt}$ 表示船的水平速度，即船的实际运动速度。

第（2）题

船的速度

1. 几何关系：由直角三角形得 $r^2 = s^2 + h^2$。
2. 求导关联速度：
   • 对时间 $t$ 求导：$2r \dfrac{dr}{dt} = 2s \dfrac{ds}{dt}$。
   • 整理得：$\dfrac{ds}{dt} = \dfrac{r}{s} \dfrac{dr}{dt}$。
3. 代入已知条件：
   • $\dfrac{dr}{dt} = -v_0$（绳子缩短，故取负号），$s = \sqrt{r^2 - h^2}$。
   • 船的速度大小为：
     $v = \dfrac{ds}{dt} = \dfrac{r}{\sqrt{r^2 - h^2}} v_0.$

船的加速度

1. 速度大小变化：船的速度 $v = \dfrac{r}{\sqrt{r^2 - h^2}} v_0$ 随 $r$ 变化而变化。
2. 向心加速度：船的运动轨迹为圆弧，向心加速度为
   $a_c = \dfrac{v^2}{r} = \dfrac{\left( \dfrac{r}{\sqrt{r^2 - h^2}} v_0 \right)^2}{r} = \dfrac{v_0^2 h^2}{(r^2 - h^2)^{1.5}}.$
3. 切向加速度：由于绳子的拉力方向始终沿绳子，切向加速度为零。
4. 总加速度：仅由向心加速度决定，即
   $a = \dfrac{v_0^2 h^2}{(r^2 - h^2)^{1.5}}.$