函数 =(e)^(x^2-1) 的值域为 __

考查要点：本题主要考查复合函数的值域求解，涉及指数函数和二次函数的性质。

解题核心思路：

1. 分解函数结构：将函数拆解为外层指数函数 $e^t$ 和内层二次函数 $t = x^2 - 1$。
2. 分析内层函数的值域：确定 $x^2 - 1$ 的取值范围。
3. 结合指数函数单调性：利用指数函数 $e^t$ 的单调递增性，将内层函数的值域映射到外层函数，最终得到原函数的值域。

破题关键点：

• 二次函数的最小值：$x^2 - 1$ 的最小值为 $-1$（当 $x = 0$ 时取得）。
• 指数函数的单调性：$e^t$ 随 $t$ 增大而单调递增，因此当 $t$ 取最小值 $-1$ 时，$e^t$ 取得最小值 $\frac{1}{e}$。

1. 分析内层函数 $t = x^2 - 1$ 的值域

   • $x^2 \geq 0$，因此 $x^2 - 1 \geq -1$。
   • 当 $x = 0$ 时，$t = -1$；当 $|x| \to +\infty$ 时，$t \to +\infty$。
   • 结论：$t \in [-1, +\infty)$。

2. 分析外层函数 $y = e^t$ 的值域

   • 指数函数 $e^t$ 在 $t \in [-1, +\infty)$ 上单调递增。
   • 当 $t = -1$ 时，$y = e^{-1} = \frac{1}{e}$；当 $t \to +\infty$ 时，$y \to +\infty$。
   • 结论：$y \in \left[ \frac{1}{e}, +\infty \right)$。