题目
(3) (int )_(0)^dfrac (pi {4)}dfrac (x)(1+cos 2x)dx= () .-|||-(A) dfrac (pi )(8)+dfrac (ln 2)(4) (B) dfrac (pi )(8)-dfrac (ln 2)(4) (C) dfrac (pi )(4)-dfrac (ln 2)(8) (D) dfrac (pi )(4)+dfrac (ln 2)(8)
题目解答
答案
解析
步骤 1：化简被积函数
利用三角恒等式 $1+\cos 2x = 2\cos^2 x$，将被积函数化简为 $\dfrac{x}{2\cos^2 x}$。
步骤 2：积分
将积分式写为 $\dfrac{1}{2}{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{4}}\dfrac {x}{\cos^2 x}dx$，并使用分部积分法，设 $u = x$，$dv = \dfrac{1}{\cos^2 x}dx$，则 $du = dx$，$v = \tan x$。因此，原积分变为 $\dfrac{1}{2} \left[ x\tan x \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{4}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x dx \right]$。
步骤 3：计算
计算 $x\tan x \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \dfrac{\pi}{4} \cdot 1 - 0 = \dfrac{\pi}{4}$，以及 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x dx = -\ln|\cos x| \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = -\ln\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) + \ln(1) = \dfrac{1}{2}\ln 2$。因此，原积分结果为 $\dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{1}{2}\ln 2 \right) = \dfrac{\pi}{8} - \dfrac{\ln 2}{4}$。
利用三角恒等式 $1+\cos 2x = 2\cos^2 x$，将被积函数化简为 $\dfrac{x}{2\cos^2 x}$。
步骤 2：积分
将积分式写为 $\dfrac{1}{2}{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{4}}\dfrac {x}{\cos^2 x}dx$，并使用分部积分法，设 $u = x$，$dv = \dfrac{1}{\cos^2 x}dx$，则 $du = dx$，$v = \tan x$。因此，原积分变为 $\dfrac{1}{2} \left[ x\tan x \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{4}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x dx \right]$。
步骤 3：计算
计算 $x\tan x \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \dfrac{\pi}{4} \cdot 1 - 0 = \dfrac{\pi}{4}$，以及 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x dx = -\ln|\cos x| \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = -\ln\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) + \ln(1) = \dfrac{1}{2}\ln 2$。因此，原积分结果为 $\dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{1}{2}\ln 2 \right) = \dfrac{\pi}{8} - \dfrac{\ln 2}{4}$。