题目
ETC是高速公路上不停车电子收费系统的简称.如图,汽车以 15m/s 的速度行驶,如果过人工收-|||-费通道,需要在收费站中心线处减速至0,经过20s缴费后,再加速至 15m/s 行驶;如果过ETC通-|||-道,需要在中心线前方10m处减速至 /s, 匀速到达中心线后,再加速至 15m/s 行驶.设汽车加-|||-速和减速的加速度大小均为 /(s)^2-|||-(1)汽车过人工收费通道,从收费前减速开始,到收费后加速-|||-结束,总共通过的路程和所需的时间是多少?-|||-(2)如果过ETC通道,汽车通过第(1)问路程所需要的时间是多少?汽车通过ETC通道比人工收费通道-|||-节约多长时间?-|||-收费站中心线-|||-10m-|||-15m/s → 匀速行驶区间 ETC通道-|||-/sarrow 人工收费通道
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查匀变速直线运动的公式应用，涉及减速、匀速、加速过程的时间与位移计算，以及比较两种不同路径的时间差。
解题核心思路：
- 分阶段处理：将汽车运动分为减速、匀速、加速三个阶段，分别计算各阶段的时间和位移。
- 对称性应用：加速和减速的加速度大小相等，时间对称，可简化计算。
- 总路程与总时间：人工通道需额外计算缴费时间，ETC通道需注意匀速段的位移。
破题关键点：
- 减速与加速时间计算：利用速度公式 $v = v_0 + at$。
- 位移计算：选择速度平方公式 $v^2 = v_0^2 + 2ax$ 或位移公式 $x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$。
- 时间差分析：ETC比人工通道少行驶的路程需补足，以匀速速度计算额外时间。
第（1）题：人工收费通道
减速阶段
- 时间：$t_1 = \frac{0 - 15}{-1} = 15 \, \text{s}$
- 位移：$x_1 = \frac{15^2}{2 \times 1} = 112.5 \, \text{m}$
加速阶段
- 时间：$t_2 = \frac{15 - 0}{1} = 15 \, \text{s}$
- 位移：$x_2 = \frac{15^2}{2 \times 1} = 112.5 \, \text{m}$
总路程与总时间
- 总路程：$x_{\text{总}} = x_1 + x_2 = 225 \, \text{m}$
- 总时间：$t_{\text{总}} = t_1 + t_2 + 20 = 50 \, \text{s}$
第（2）题：ETC通道
减速阶段
- 时间：$t_1' = \frac{5 - 15}{-1} = 10 \, \text{s}$
- 位移：$x_1' = \frac{15^2 - 5^2}{2 \times 1} = 100 \, \text{m}$
匀速阶段
- 时间：$t_2' = \frac{10}{5} = 2 \, \text{s}$
加速阶段
- 时间：$t_3' = \frac{15 - 5}{1} = 10 \, \text{s}$
- 位移：$x_3' = \frac{15^2 - 5^2}{2 \times 1} = 100 \, \text{m}$
总路程与总时间
- 总路程：$x_{\text{总}}' = 100 + 10 + 100 = 210 \, \text{m}$
- 总时间：$t_{\text{总}}' = 10 + 2 + 10 = 22 \, \text{s}$
补足路程时间
- 路程差：$225 - 210 = 15 \, \text{m}$
- 补足时间：$\Delta t = \frac{15}{15} = 1 \, \text{s}$
- 总时间：$t_{\text{ETC}} = 22 + 1 = 23 \, \text{s}$
- 节省时间：$\Delta t_{\text{省}} = 50 - 23 = 27 \, \text{s}$