题目
设n元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A的秩为r，则Ax=0有非零解的充分必要条件是（ ）A. r=nB. r＜nC. r≥nD. r＞n
设n元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A的秩为r，则Ax=0有非零解的充分必要条件是（ ）
A. r=n
B. r＜n
C. r≥n
D. r＞n
题目解答
答案
B. r＜n
解析
步骤 1：理解齐次线性方程组的解的性质
齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是系数矩阵A的秩r小于未知数的个数n。这是因为，如果系数矩阵A的秩等于未知数的个数n，那么方程组有唯一零解；如果系数矩阵A的秩小于未知数的个数n，那么方程组有非零解。
步骤 2：分析选项
A. r=n：如果系数矩阵A的秩等于未知数的个数n，那么方程组有唯一零解，不符合题意。
B. r＜n：如果系数矩阵A的秩小于未知数的个数n，那么方程组有非零解，符合题意。
C. r≥n：如果系数矩阵A的秩大于或等于未知数的个数n，那么方程组有唯一零解或无解，不符合题意。
D. r＞n：如果系数矩阵A的秩大于未知数的个数n，那么方程组无解，不符合题意。
齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是系数矩阵A的秩r小于未知数的个数n。这是因为，如果系数矩阵A的秩等于未知数的个数n，那么方程组有唯一零解；如果系数矩阵A的秩小于未知数的个数n，那么方程组有非零解。
步骤 2：分析选项
A. r=n：如果系数矩阵A的秩等于未知数的个数n，那么方程组有唯一零解，不符合题意。
B. r＜n：如果系数矩阵A的秩小于未知数的个数n，那么方程组有非零解，符合题意。
C. r≥n：如果系数矩阵A的秩大于或等于未知数的个数n，那么方程组有唯一零解或无解，不符合题意。
D. r＞n：如果系数矩阵A的秩大于未知数的个数n，那么方程组无解，不符合题意。