题目

齐次线性方程组⎧⎩⎨⎪⎪λx1+x2+λ2x3=0x1+λx2+x3=0x1+x2+λx3=0的系数矩阵记为A，若存在三阶矩阵B≠O，使得AB=O，则()A. λ=−2且|B|=0B. λ=−2且|B|≠0C. λ=1且|B|=0D. λ=1且|B|≠0

齐次线性方程组⎧⎩⎨⎪⎪λx1+x2+λ2x3=0x1+λx2+x3=0x1+x2+λx3=0的系数矩阵记为A，若存在三阶矩阵B≠O，使得AB=O，则()

A. λ=−2且|B|=0
B. λ=−2且|B|≠0
C. λ=1且|B|=0
D. λ=1且|B|≠0

题目解答

答案

法一：

∵AB=0，可知B的每一列均为Ax=0的解。

又由B≠0，则B存在非零列向量，

从而：Ax=0存在非零解，

故：|A|=0，

所以：

⎛⎝⎜λ111λ1λ21λ⎞⎠⎟=0，

解得：λ=1，排除A，B，

而且有：

A=⎡⎣⎢111111111⎤⎦⎥，

由AB=0,可得：BTAT=0，

故方程组BTx=0存在非零解，

从而|B|=|BT|=0

排除D，故选C.

法二：

∵AB=0，

∴r(A)+r(B)⩽3，

又由 A≠0，B≠0，

则：r(A)⩾1,r(B)⩾1，

所以,1⩽r(A)<3,1⩽r(B)<3，

故|B|=0，排除B，D

对于选项A，当λ=−2时，

|A|=⎛⎝⎜−2111−2141−2⎞⎠⎟=9,此时r(A)=3，矛盾，排除A

而对于选项C,当λ=1时,A=⎡⎣⎢111111111⎤⎦⎥,r(A)=1，符合题意，

故选：C.

解析

步骤 1：确定齐次线性方程组的系数矩阵A
齐次线性方程组的系数矩阵A为：
A=⎡⎣⎢λ111λ1λ21λ⎤⎦⎥
步骤 2：根据AB=O，确定矩阵A的秩
由于AB=O，且B≠O，说明矩阵A的秩小于3，即r(A)<3。
步骤 3：计算矩阵A的行列式
计算矩阵A的行列式，得到：
|A|=⎛⎝⎜λ111λ1λ21λ⎞⎠⎟=λ3+λ2+λ+1
步骤 4：求解行列式等于0的λ值
令|A|=0，解得：
λ3+λ2+λ+1=0
解得：λ=1
步骤 5：验证λ=1时，矩阵A的秩
当λ=1时，矩阵A变为：
A=⎡⎣⎢111111111⎤⎦⎥
此时，r(A)=1<3，符合题意。
步骤 6：确定|B|=0
由于AB=O，且r(A)=1，说明矩阵B的秩也小于3，即r(B)<3，因此|B|=0。