题目
3、如果f（x）是可微函数，且满足(int )_(0)^xf(t)dt+f(x)=(x)^3试求f（x）所满足的微分方程
3、如果f（x）是可微函数，且满足
试求f（x）所满足的微分方程
题目解答
答案
对等式两边同时求导，可得：
根据一阶线性微分方程
通解公式：
其中p(x)=2,Q(x)=
解析
步骤 1：求导
对等式${\int }_{0}^{x}f(t)dt+f(x)={x}^{3}$两边同时求导，得到$f(x)+f'(x)=3{x}^{2}$。
步骤 2：整理微分方程
将上一步得到的等式整理为$f'(x)+f(x)=3{x}^{2}$，这是一个一阶线性微分方程。
步骤 3：求解微分方程
根据一阶线性微分方程$f'(x)+p(x)f(x)=Q(x)$的通解公式$f(x)={e}^{-\int p(x)dx}(\int Q(x){e}^{\int p(x)dx}dx+C)$，其中$p(x)=1$，$Q(x)=3{x}^{2}$，代入公式求解。
对等式${\int }_{0}^{x}f(t)dt+f(x)={x}^{3}$两边同时求导，得到$f(x)+f'(x)=3{x}^{2}$。
步骤 2：整理微分方程
将上一步得到的等式整理为$f'(x)+f(x)=3{x}^{2}$，这是一个一阶线性微分方程。
步骤 3：求解微分方程
根据一阶线性微分方程$f'(x)+p(x)f(x)=Q(x)$的通解公式$f(x)={e}^{-\int p(x)dx}(\int Q(x){e}^{\int p(x)dx}dx+C)$，其中$p(x)=1$，$Q(x)=3{x}^{2}$，代入公式求解。