题目
以下函数在定义域上是偶函数的是(）。 A. y = x sin xB. y = x cos xC. y = xe^xD. y = x ln x
以下函数在定义域上是偶函数的是(）。
- A. $y = x \sin x$
- B. $y = x \cos x$
- C. $y = xe^x$
- D. $y = x \ln x$
题目解答
答案
为了确定哪个函数在定义域上是偶函数，我们需要检查每个函数是否满足偶函数的条件，即对于定义域内的所有 $ x $，有 $ f(-x) = f(x) $。
让我们逐步分析每个函数：
**函数 A: $ y = x \sin x $**
1. 计算 $ f(-x) $：
\[
f(-x) = (-x) \sin(-x)
\]
2. 使用正弦函数的性质，$ \sin(-x) = -\sin(x) $：
\[
f(-x) = (-x) (-\sin(x)) = x \sin(x)
\]
3. 由于 $ f(-x) = f(x) $，函数 $ y = x \sin x $ 是偶函数。
**函数 B: $ y = x \cos x $**
1. 计算 $ f(-x) $：
\[
f(-x) = (-x) \cos(-x)
\]
2. 使用余弦函数的性质，$ \cos(-x) = \cos(x) $：
\[
f(-x) = (-x) \cos(x) = -x \cos(x)
\]
3. 由于 $ f(-x) = -f(x) $，函数 $ y = x \cos x $ 是奇函数。
**函数 C: $ y = x e^x $**
1. 计算 $ f(-x) $：
\[
f(-x) = (-x) e^{-x}
\]
2. 由于 $ f(-x) \neq f(x) $ 和 $ f(-x) \neq -f(x) $，函数 $ y = x e^x $ 既不是偶函数也不是奇函数。
**函数 D: $ y = x \ln x $**
1. 计算 $ f(-x) $：
\[
f(-x) = (-x) \ln(-x)
\]
2. 自然对数函数，$ \ln(x) $，对于 $ x \leq 0 $ 不定义。因此，函数 $ y = x \ln x $ 的定义域不包括负数，所以它既不是偶函数也不是奇函数。
根据分析，唯一在定义域上是偶函数的函数是 $ y = x \sin x $。
答案是：$\boxed{A}$
解析
偶函数的定义是：对于定义域内的任意$x$，都有$f(-x) = f(x)$。判断函数是否为偶函数，需注意两点：
- 定义域关于原点对称；
- 验证$f(-x)$是否等于$f(x)$。
本题需逐一分析四个选项，结合基本函数（如$\sin x$、$\cos x$、指数函数、对数函数）的奇偶性，判断复合后的函数是否满足偶函数条件。
选项A：$y = x \sin x$
- 计算$f(-x)$：
$f(-x) = (-x) \sin(-x)$ - 利用$\sin(-x) = -\sin x$：
$f(-x) = (-x)(-\sin x) = x \sin x = f(x)$ - 结论：$f(-x) = f(x)$，是偶函数。
选项B：$y = x \cos x$
- 计算$f(-x)$：
$f(-x) = (-x) \cos(-x)$ - 利用$\cos(-x) = \cos x$：
$f(-x) = (-x)\cos x = -x \cos x = -f(x)$ - 结论：$f(-x) = -f(x)$，是奇函数。
选项C：$y = x e^x$
- 计算$f(-x)$：
$f(-x) = (-x) e^{-x}$ - 对比$f(x)$和$-f(x)$：
$f(-x) \neq x e^x \quad \text{且} \quad f(-x) \neq -x e^x$ - 结论：既不是偶函数也不是奇函数。
选项D：$y = x \ln x$
- 定义域分析：$\ln x$仅在$x > 0$时有定义，定义域为$(0, +\infty)$。
- 验证$f(-x)$：
$f(-x) = (-x) \ln(-x) \quad \text{（无意义，因$\ln(-x)$在实数范围内无定义）}$ - 结论：定义域不对称，无法满足偶函数条件。