题目
[题目]设函数f (x)在闭区间(0,1)上连续,在开区间-|||-(0,1)内可导,且 (0)=0, (1)=dfrac (1)(3),-|||-证明:存在 in (0,dfrac (1)(2)), in (dfrac (1)(2),1), 使得-|||-'(xi )+f(n)=(s)^2+(n)^2
题目解答
答案
解析
步骤 1：构造辅助函数
构造函数: $F(x)=f(x)-f(1-x)-\dfrac {{x}^{3}}{3}$ $+\dfrac {{(1-x)}^{3}}{3}$ $x\in [ 0,1] $ .
步骤 2：验证辅助函数的性质
则F(x)在区间[0,1]上连续,在开区间(01)内可导,
步骤 3：应用拉格朗日中值定理
∴由拉格朗日中值定理得: $\in (0,1)$ ,使得: $F(1)-F(0)=F'(s)$ .
步骤 4：计算辅助函数的差值
又: $F(1)-F(0)=2[ f(1)-f(0)-\dfrac {1}{3}] $ $F'(\xi )=f'(\xi )+f'(1-\xi )-{\xi }^{2}$ $-{(1-{5}^{2})}^{2}$
步骤 5：推导出导数关系
$\therefore {f}^{2}(s)+f'(1-t)-{e}^{2}-{(1-s)}^{2}=0$ .
步骤 6：得出结论
即: $f'(\xi )+f'(1-\xi )={\sec }^{2}+{(1-\xi )}^{2}$ .$\varepsilon \in (0,1)$ .
步骤 7：定义新变量
令: $n=1-5$ ,则: $n\in (0,1)$ ,
步骤 8：确定变量范围
则:{和n中,一个在 $(0,\dfrac {1}{2})$ ,另一个在 $(\dfrac {1}{2},1)$ .
步骤 9：最终结论
不妨设 $\in (0,\dfrac {1}{2})$ .$n\in (\dfrac {1}{2},1)$ .
则: $f'(\xi )+f'(\eta )={\xi }^{2}+{n}^{2}$ ,证毕.
构造函数: $F(x)=f(x)-f(1-x)-\dfrac {{x}^{3}}{3}$ $+\dfrac {{(1-x)}^{3}}{3}$ $x\in [ 0,1] $ .
步骤 2：验证辅助函数的性质
则F(x)在区间[0,1]上连续,在开区间(01)内可导,
步骤 3：应用拉格朗日中值定理
∴由拉格朗日中值定理得: $\in (0,1)$ ,使得: $F(1)-F(0)=F'(s)$ .
步骤 4：计算辅助函数的差值
又: $F(1)-F(0)=2[ f(1)-f(0)-\dfrac {1}{3}] $ $F'(\xi )=f'(\xi )+f'(1-\xi )-{\xi }^{2}$ $-{(1-{5}^{2})}^{2}$
步骤 5：推导出导数关系
$\therefore {f}^{2}(s)+f'(1-t)-{e}^{2}-{(1-s)}^{2}=0$ .
步骤 6：得出结论
即: $f'(\xi )+f'(1-\xi )={\sec }^{2}+{(1-\xi )}^{2}$ .$\varepsilon \in (0,1)$ .
步骤 7：定义新变量
令: $n=1-5$ ,则: $n\in (0,1)$ ,
步骤 8：确定变量范围
则:{和n中,一个在 $(0,\dfrac {1}{2})$ ,另一个在 $(\dfrac {1}{2},1)$ .
步骤 9：最终结论
不妨设 $\in (0,\dfrac {1}{2})$ .$n\in (\dfrac {1}{2},1)$ .
则: $f'(\xi )+f'(\eta )={\xi }^{2}+{n}^{2}$ ,证毕.