题目

.已知 (dfrac (1)(x))=dfrac (4)(x)+2(x)^2+1, 求f(x), ((x)^2+1)

$3.已知f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{4}{x}+2x^2+1,求f\left(x\right)，f\left(x^2+1\right)$

题目解答

答案

解： $f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{4}{x}+2x^2+1$ ，要求 $f\left(x\right)$ 与 $f\left(x^2+1\right)$ ,将 $\frac{1}{x}$ 替换成x得出 $f\left(x\right)$ ,再将 $x$ 替换成 $\left(x^2+1\right)$ ，求出 $f\left(x^2+1\right)$ 。

$f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{4}{x}+2x^2+1$

将 $\frac{1}{x}$ 替换成 $x$ 得

$f\left(x\right)=4x+\frac{2}{x^2}+1$

∴ $f\left(x^2+1\right)=4\left(x^2+1\right)+\frac{2}{\left(x^2+1\right)^2}+1$

$=4x^2+\frac{2}{\left(x^2+1\right)^2}+5$

综上所述： $f\left(x\right)=4x+\frac{2}{x^2}+1$

$f\left(x^2+1\right)=4x^2+\frac{2}{\left(x^2+1\right)^2}+5$

解析

步骤 1：求f(x)
将 $f(\dfrac {1}{x})=\dfrac {4}{x}+2{x}^{2}+1$ 中的 $\dfrac{1}{x}$ 替换成 $x$，得到 $f(x)$ 的表达式。
步骤 2：求$f({x}^{2}+1)$
将 $f(x)$ 中的 $x$ 替换成 ${x}^{2}+1$，得到 $f({x}^{2}+1)$ 的表达式。