求lim _(xarrow +infty )((dfrac {2)(pi )arctan x)}^x-|||-__

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是处理形如$1^{\infty}$型不定式的常用方法，以及洛必达法则的应用。

解题核心思路：

1. 识别极限类型：当$x \to +\infty$时，$\arctan x \to \frac{\pi}{2}$，因此$\frac{2}{\pi} \arctan x \to 1$，原式为$1^{\infty}$型不定式。
2. 转换为指数形式：利用$\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} g(x) \cdot \ln f(x)}$，将问题转化为求指数部分的极限。
3. 展开与近似：对$\ln\left(1 + \left(\frac{2}{\pi} \arctan x - 1\right)\right)$使用泰勒展开或等价无穷小替换，简化表达式。
4. 洛必达法则：对简化后的极限应用洛必达法则求解。

破题关键点：

• 正确处理$\arctan x$在$x \to +\infty$时的展开式：$\arctan x = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{x} + o\left(\frac{1}{x}\right)$。
• 灵活应用等价无穷小替换：$\ln(1 + \varepsilon) \sim \varepsilon$（当$\varepsilon \to 0$）。
• 准确执行洛必达法则：注意分子分母的导数计算及极限化简。

步骤1：将原式转换为指数形式
设原式为$A = \left(\frac{2}{\pi} \arctan x\right)^x$，取自然对数得：
$\ln A = x \cdot \ln\left(\frac{2}{\pi} \arctan x\right)$

步骤2：分析$\frac{2}{\pi} \arctan x$的展开式
当$x \to +\infty$时，$\arctan x = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{x} + o\left(\frac{1}{x}\right)$，代入得：
$\frac{2}{\pi} \arctan x = 1 - \frac{2}{\pi x} + o\left(\frac{1}{x}\right)$

步骤3：展开$\ln$函数
令$\varepsilon = \frac{2}{\pi} \arctan x - 1 = -\frac{2}{\pi x} + o\left(\frac{1}{x}\right)$，当$x \to +\infty$时，$\varepsilon \to 0$，因此：
$\ln\left(1 + \varepsilon\right) \sim \varepsilon$

步骤4：代入并化简极限表达式
将$\ln\left(\frac{2}{\pi} \arctan x\right)$展开并代入$\ln A$：
$\ln A \sim x \cdot \left(-\frac{2}{\pi x}\right) = -\frac{2}{\pi}$

步骤5：应用洛必达法则验证
将极限写成$\lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{2}{\pi} \arctan x - 1}{\frac{1}{x}}$，分子分母均趋近于$0$，应用洛必达法则：
$\lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{2}{\pi} \cdot \frac{1}{x^2 + 1}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to +\infty} \left(-\frac{2x^2}{\pi(x^2 + 1)}\right) = -\frac{2}{\pi}$

步骤6：求最终结果
原极限为：
$A = e^{\ln A} = e^{-\frac{2}{\pi}}$