设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为 f(x)= ^2),xgeqslant 100 0,xlt 100. . 求： （1）在开始150小时内没有电子管损坏的概率； （2）在这段时间内有一只电子管损坏的概率； （3）F（x）.

考查要点：本题主要考查连续型随机变量的概率计算、独立事件的概率乘法公式、二项分布的应用以及分布函数的求解。

解题核心思路：

1. （1） 计算单个电子管寿命超过150小时的概率，再利用独立性求三个都不损坏的概率；
2. （2） 利用二项分布公式计算恰好一只损坏的概率；
3. （3） 根据概率密度函数的定义，分段积分求分布函数。

破题关键点：

• 正确计算单个电子管寿命的概率：通过积分密度函数得到；
• 独立事件的处理：多个独立事件同时发生时概率相乘；
• 分布函数的定义：积分密度函数从负无穷到指定点。

（1）在开始150小时内没有电子管损坏的概率

计算单个电子管寿命超过150小时的概率

单个电子管寿命超过150小时的概率为：
$P(X > 150) = 1 - P(X \leq 150) = 1 - \int_{100}^{150} \frac{100}{t^2} dt$
计算积分：
$\int_{100}^{150} \frac{100}{t^2} dt = 100 \left[ -\frac{1}{t} \right]_{100}^{150} = 100 \left( \frac{1}{100} - \frac{1}{150} \right) = \frac{1}{3}$
因此：
$P(X > 150) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

计算三个电子管均未损坏的概率

三个电子管独立，因此概率为：
$P_1 = \left( \frac{2}{3} \right)^3 = \frac{8}{27}$

（2）在这段时间内有一只电子管损坏的概率

应用二项分布公式

恰好一只损坏的概率为：
$P_2 = C_3^1 \cdot \left( \frac{1}{3} \right) \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^2 = 3 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{9} = \frac{4}{9}$

（3）求分布函数 $F(x)$

分段讨论

• 当 $x < 100$ 时：密度函数为0，故：
  $F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) dt = 0$

• 当 $x \geq 100$ 时：积分密度函数：
  $F(x) = \int_{100}^x \frac{100}{t^2} dt = 100 \left[ -\frac{1}{t} \right]_{100}^x = 1 - \frac{100}{x}$

综上：
$F(x) = \begin{cases}1 - \dfrac{100}{x}, & x \geq 100 \\0, & x < 100\end{cases}$