2.求下列函数定义域：f(x)=arccos(x-3)+sqrt(x^2)-1

考查要点：本题主要考查复合函数定义域的求解，涉及反三角函数$\arccos$和根式函数$\sqrt{}$的定义域条件，以及集合的交集运算。

解题核心思路：

1. 分别求出各部分函数的定义域：$\arccos(x-3)$要求其内部表达式$x-3$的取值范围为$[-1,1]$；$\sqrt{x^2-1}$要求$x^2-1 \geq 0$。
2. 求交集：将各部分定义域的解集取公共部分，即同时满足两个条件的$x$值范围。

破题关键点：

• 明确各函数的定义域限制条件，尤其是$\arccos$的输入范围和根式下被开方数的非负性。
• 正确解不等式，并注意区间端点的包含关系。

步骤1：求$\arccos(x-3)$的定义域

$\arccos$函数的定义域要求其输入在$[-1,1]$之间，因此：
$-1 \leq x-3 \leq 1$
解不等式：

• 左侧不等式：$-1 \leq x-3 \Rightarrow x \geq 2$
• 右侧不等式：$x-3 \leq 1 \Rightarrow x \leq 4$
  综上，$\arccos(x-3)$的定义域为：
  $2 \leq x \leq 4 \quad \text{即} \quad [2, 4]$

步骤2：求$\sqrt{x^2-1}$的定义域

根式下被开方数必须非负：
$x^2 - 1 \geq 0$
解不等式：

• 因式分解：$(x-1)(x+1) \geq 0$
• 解得：$x \geq 1$ 或 $x \leq -1$
  因此，$\sqrt{x^2-1}$的定义域为：
  $(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$

步骤3：求两个定义域的交集

函数$f(x)$的定义域是两部分定义域的交集：

• $[2, 4]$与$(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$的交集为$[2, 4]$（因为$[2,4]$完全包含在$[1, +\infty)$中）