题目
设f（x）是定义域为R的奇函数，且f（1+x）=f（-x）．若f（-(1)/(3)）=(1)/(3)，则f（(5)/(3)）=（ ） A. -(5)/(3) B. -(1)/(3) C. (1)/(3) D. (5)/(3)
设f（x）是定义域为R的奇函数，且f（1+x）=f（-x）．若f（-$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{3}$，则f（$\frac{5}{3}$）=（ ）
- A. -$\frac{5}{3}$
- B. -$\frac{1}{3}$
- C. $\frac{1}{3}$
- D. $\frac{5}{3}$
题目解答
答案
解：由题意得f（-x）=-f（x），
又f（1+x）=f（-x）=-f（x），
所以f（2+x）=f（x），
又f（-$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{3}$，
则f（$\frac{5}{3}$）=f（2-$\frac{1}{3}$）=f（-$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{3}$．
故选：C．
又f（1+x）=f（-x）=-f（x），
所以f（2+x）=f（x），
又f（-$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{3}$，
则f（$\frac{5}{3}$）=f（2-$\frac{1}{3}$）=f（-$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{3}$．
故选：C．
解析
步骤 1：利用奇函数性质
由于f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x)。这意味着f(x)关于原点对称。
步骤 2：利用给定的函数关系
根据题目条件，f(1+x)=f(-x)。结合奇函数性质，可以得到f(1+x)=-f(x)。
步骤 3：寻找周期性
由f(1+x)=-f(x)，可以推导出f(2+x)=f(x)，说明f(x)是一个周期为2的函数。
步骤 4：计算f($\frac{5}{3}$)
由于f(x)的周期为2，所以f($\frac{5}{3}$)=f(2-$\frac{1}{3}$)=f(-$\frac{1}{3}$)。根据题目条件，f(-$\frac{1}{3}$)=$\frac{1}{3}$，所以f($\frac{5}{3}$)=$\frac{1}{3}$。
由于f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x)。这意味着f(x)关于原点对称。
步骤 2：利用给定的函数关系
根据题目条件，f(1+x)=f(-x)。结合奇函数性质，可以得到f(1+x)=-f(x)。
步骤 3：寻找周期性
由f(1+x)=-f(x)，可以推导出f(2+x)=f(x)，说明f(x)是一个周期为2的函数。
步骤 4：计算f($\frac{5}{3}$)
由于f(x)的周期为2，所以f($\frac{5}{3}$)=f(2-$\frac{1}{3}$)=f(-$\frac{1}{3}$)。根据题目条件，f(-$\frac{1}{3}$)=$\frac{1}{3}$，所以f($\frac{5}{3}$)=$\frac{1}{3}$。