12. (6.0分) 设Ω是由曲面x²+y²=2z及平面z=2所围成的空间闭区域，则iiint_(Omega)f(x,y,z)dv=int_(0)^2pidthetaint_(0)^2drint_(0)^(r^(2)/(2))f(rcostheta,rsintheta,z)rdzA. 对B. 错

步骤 1：确定区域 $\Omega$ 的边界
- 曲面 $x^2 + y^2 = 2z$ 是一个抛物面，开口向上，顶点在原点。
- 平面 $z = 2$ 是一个水平面，位于 $z$-轴上方2个单位。
- 这两个曲面的交线通过将 $z = 2$ 代入抛物面方程中找到：\[ x^2 + y^2 = 2 \cdot 2 = 4 \] 这是在 $xy$-平面上半径为2，中心在原点的圆。

步骤 2：在柱坐标系中描述区域 $\Omega$
- 在柱坐标系中，我们使用变量 $r$，$\theta$ 和 $z$，其中 $x = r \cos \theta$，$y = r \sin \theta$，且 $z = z$。
- 半径 $r$ 的范围从0到交线圆的半径，即2。
- 角度 $\theta$ 的范围从0到 $2\pi$，覆盖整个圆。
- $z$ 的范围从抛物面 $z = \frac{r^2}{2}$ 到平面 $z = 2$。

步骤 3：将三重积分转换为柱坐标系
- 在柱坐标系中，体积元素 $dV$ 由 $r \, dr \, d\theta \, dz$ 给出。
- 积分变为：\[ \iiint_{\Omega} f(x, y, z) \, dV = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} \int_{\frac{r^2}{2}}^{2} f(r \cos \theta, r \sin \theta, z) \, r \, dz \, dr \, d\theta \]

步骤 4：与给定的表达式比较
- 给定的表达式是：\[ \iiint_{\Omega} f(x, y, z) \, dV = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} \int_{0}^{\frac{r^2}{2}} f(r \cos \theta, r \sin \theta, z) \, r \, dz \, dr \, d\theta \]
- 注意到 $z$ 的范围从0到 $\frac{r^2}{2}$，这与我们推导出的范围从 $\frac{r^2}{2}$ 到2不同。