题目

lim_(x to 0) (sin 3x)/(tan 5x) = ( ); A. (5)/(3)B. 0C. (3)/(5)D. infty

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan 5x} = (\ )$;

  • A. $\frac{5}{3}$
  • B. $0$
  • C. $\frac{3}{5}$
  • D. $\infty$

题目解答

答案

为了求解极限 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3x}{\tan 5x}$，我们可以使用等价无穷小的性质。当 $x$ 趋近于 0 时，$\sin 3x$ 和 $3x$ 是等价无穷小，$\tan 5x$ 和 $5x$ 也是等价无穷小。因此，我们可以将 $\sin 3x$ 替换为 $3x$，将 $\tan 5x$ 替换为 $5x$。 这样，原极限可以化简为： \[ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3x}{\tan 5x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{3x}{5x} \] 接下来，我们可以约去 $x$： \[ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{3x}{5x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{3}{5} = \frac{3}{5} \] 因此，极限 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3x}{\tan 5x}$ 的值是 $\frac{3}{5}$。 正确答案是 $\boxed{C}$。

解析

考查要点：本题主要考查等价无穷小替换在求解三角函数极限中的应用，以及对基本极限形式的掌握。

解题核心思路：当$x \to 0$时，$\sin ax \sim ax$和$\tan bx \sim bx$是常用的等价无穷小关系。利用这些替换，可以将原式转化为简单的分式极限，从而快速求解。

破题关键点：

  1. 识别等价无穷小形式：分子$\sin 3x$和分母$\tan 5x$在$x \to 0$时分别与$3x$和$5x$等价。
  2. 代入替换并化简：将原式中的三角函数替换为线性表达式，约去公共因子后直接得结果。

步骤1：应用等价无穷小替换
当$x \to 0$时：

  • $\sin 3x \sim 3x$
  • $\tan 5x \sim 5x$

步骤2：代入并化简
原式可近似为：
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan 5x} = \lim_{x \to 0} \frac{3x}{5x} = \lim_{x \to 0} \frac{3}{5} = \frac{3}{5}$

结论：极限值为$\frac{3}{5}$，对应选项C。