1【单选题】关于区域|z-1|>4，描述正确的是（）。A. 单连通有界区域B. 单连通无界区域C. 多连通有界区域D. 多连通无界区域

本题考查复变函数中区域的连通性和有界性的判断。解题思路是先根据复数的模的几何意义确定区域的形状，再根据单连通、多连通以及有界、无界的定义来判断该区域的性质。

步骤一：确定区域$\vert z - 1\vert\gt{}4$的几何意义

设$z=x + iy$，其中$x,y\in R$，则$z - 1=(x - 1)+iy$。
根据复数模的计算公式$\vert a+bi\vert=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$（$a,b\in R$），可得$\vert z - 1\vert=\sqrt{(x - 1)^{2}+y^{2}}$。
那么不等式$\vert z - 1\vert\gt{}4$可转化为$\sqrt{(x - 1)^{2}+y^{2}}\gt{}4$，两边同时平方得到$(x - 1)^{2}+y^{2}\gt{}16$。
在复平面上，$(x - 1)^{2}+y^{2}=16$表示以点$(1,0)$为圆心，半径$r = 4$的圆。所以$(x - 1)^{2}+y^{2}\gt{}16$表示的是复平面上以点$(1,0)$为圆心，半径为$4$的圆的外部区域。

步骤二：判断区域的连通性

• 单连通区域的定义：如果区域$D$内任意一条简单闭曲线的内部都属于$D$，则称$D$为单连通区域。
• 多连通区域的定义：不是单连通区域的连通区域称为多连通区域。
  对于圆$(x - 1)^{2}+y^{2}=16$外部的区域，任意一条简单闭曲线的内部要么完全在该区域内，要么完全不在该区域内，满足单连通区域的定义，所以该区域是单连通区域。

步骤三：判断区域的有界性

• 有界区域的定义：如果存在一个正数$M$，使得区域$D$内的所有点$z$都满足$\vert z\vert\lt{}M$，则称$D$为有界区域。
• 无界区域的定义：不是有界区域的区域称为无界区域。
  在圆$(x - 1)^{2}+y^{2}=16$外部的区域，无论取多大的正数$M$，总可以在该区域内找到点$z$使得$\vert z\vert\gt{}M$，不满足有界区域的定义，所以该区域是无界区域。

综上，区域$\vert z - 1\vert\gt{}4$是单连通无界区域。