1−23 若某种气体的状态方程为 pv = RgT ,现取质量 1kg的该种气体分别作两次循环,如图 1-5 中循环 1−2−3−1 和循环 4−5−6−4 所示,设过程 1−2 和过程4−5中温度不变都等于Ta,过程 2−3和 5−6中压力不变,过程 3−1和 4−6中体积不变。又设状态 3和状态 6温度相等,都等于Tb。试证明两个循环中 1kg气体对外界所作的循环净功相同。

考查要点：本题主要考查理想气体循环过程的净功计算，涉及等温、等压、等容过程的功的分析与计算，以及循环净功的比较。

解题核心思路：

1. 明确各过程的性质：两个循环均包含等温、等压、等容三个过程，需分别计算各过程的功。
2. 利用理想气体状态方程：通过状态方程 $pv = R_g T$，建立各状态参数之间的关系。
3. 计算净功：循环净功为各过程中气体对外做功的代数和，需注意等温过程的功与等压过程的功的符号。
4. 关键结论：通过分析等温过程的体积比和等压过程的温度差，证明两个循环的净功表达式相同。

循环1−2−3−1的分析

过程1−2（等温Ta）

根据等温过程功的公式：
$W_{12} = R_g T_a \ln \frac{v_2}{v_1}$
由状态方程 $p_1 v_1 = R_g T_a$ 和 $p_2 v_2 = R_g T_a$，得 $v_2 = \frac{T_a}{T_b} v_1$，代入得：
$W_{12} = R_g T_a \ln \frac{T_a}{T_b}$

过程2−3（等压）

等压过程中体积变化为 $v_3 - v_2 = v_2 \left( \frac{T_b}{T_a} - 1 \right)$，功为：
$W_{23} = p_2 (v_3 - v_2) = R_g (T_b - T_a)$

过程3−1（等容）

等容过程无功，$W_{31} = 0$。

循环净功：
$W_{\text{net1}} = W_{12} + W_{23} = R_g T_a \ln \frac{T_a}{T_b} + R_g (T_b - T_a)$

循环4−5−6−4的分析

过程4−5（等温Ta）

同理，等温过程功为：
$W_{45} = R_g T_a \ln \frac{v_5}{v_4}$
由状态方程可得 $v_5 = \frac{T_a}{T_b} v_4$，代入得：
$W_{45} = R_g T_a \ln \frac{T_a}{T_b}$

过程5−6（等压）

等压过程功为：
$W_{56} = R_g (T_b - T_a)$

过程6−4（等容）

等容过程无功，$W_{64} = 0$。

循环净功：
$W_{\text{net2}} = W_{45} + W_{56} = R_g T_a \ln \frac{T_a}{T_b} + R_g (T_b - T_a)$

结论

两个循环的净功表达式完全相同，故所作的循环净功相等。