23、找出下列函数的间断点并判断类型。-|||-(1) (x)=dfrac ({x)^2-1}({x)^2-3x+2}; ×+1)(×-|||-(2) (x)=xsin dfrac (1)(x);

考查要点：本题主要考查函数间断点的判断，包括可去间断点、无穷间断点的识别与分类。

解题思路：

1. 分式函数：先找出分母为零的点，再判断分子是否也为零（若分子分母同为零，可能是可去间断点；若分母为零而分子不为零，则为无穷间断点）。
2. 非分式函数（如含三角函数乘积）：若函数在某点无定义，需计算极限是否存在（若极限存在且有限，则为可去间断点；若极限不存在或为无穷，则为不可去间断点）。

第（1）题：$f(x)=\dfrac{x^2-1}{x^2-3x+2}$

分解分母

分母 $x^2-3x+2$ 分解为 $(x-1)(x-2)$，因此分母在 $x=1$ 和 $x=2$ 时为零。

判断分子在分母零点的值

• 当 $x=1$ 时，分子 $x^2-1=0$，此时分子分母同为零，需进一步计算极限：
  $\lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{(x-1)(x-2)} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)} = \lim_{x \to 1} \frac{x+1}{x-2} = \frac{2}{-1} = -2$
  极限存在且有限，故 $x=1$ 是可去间断点。

• 当 $x=2$ 时，分子 $x^2-1=3 \neq 0$，分母为零导致函数值趋向无穷，故 $x=2$ 是无穷间断点。

第（2）题：$f(x)=x\sin \dfrac{1}{x}$

判断函数定义域

函数在 $x=0$ 处无定义，需计算 $x \to 0$ 时的极限。

计算极限

利用夹逼定理：
$\lim_{x \to 0} x\sin \frac{1}{x} = 0$
（因为 $|\sin \frac{1}{x}| \leq 1$，而 $x \to 0$ 时 $|x| \to 0$）

判断间断点类型

极限存在且为 $0$，但函数在 $x=0$ 处无定义，故 $x=0$ 是可去间断点。