题目
5.求下非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系和此方程组的通解。}x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4)=22x_(1)+3x_(2)+x_(3)+x_(4)=1x_(1)+2x_(3)+2x_(4)=5
5.求下非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系和此方程组的通解。
$\begin{cases}x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=2\\2x_{1}+3x_{2}+x_{3}+x_{4}=1\\x_{1}+2x_{3}+2x_{4}=5\end{cases}$
题目解答
答案
将增广矩阵化简为行最简形：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 2 & 5 \\
0 & 1 & -1 & -1 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
对应方程组为：
\[
\begin{cases}
x_1 + 2x_3 + 2x_4 = 5 \\
x_2 - x_3 - x_4 = -3
\end{cases}
\]
令 $x_3 = k_1$，$x_4 = k_2$，得通解：
\[
\boxed{
\begin{pmatrix}
5 \\
-3 \\
0 \\
0
\end{pmatrix} +
k_1
\begin{pmatrix}
-2 \\
1 \\
1 \\
0
\end{pmatrix} +
k_2
\begin{pmatrix}
-2 \\
1 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
}
\]
其中，$\boxed{
\begin{pmatrix}
-2 \\
1 \\
1 \\
0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
-2 \\
1 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
}$ 为齐次方程组的基础解系。
解析
本题考查非齐次线性方程组的通解以及对应的齐次线性方程组的基础解系的求解。。解题思路是先将非齐次线性方程组的增广矩阵化为行最简形，得到同解方程组，然后求出对应的齐次线性方程组的基础解系，再求出非齐次线性方程组的一个特解，最后根据非齐次线性方程组的通解与非齐次线性方程组的特解得到非齐次线性方程组的通解。
- 将增广矩阵化为行最简形：
已知非齐次线性方程组$\begin{cases}x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=2\\2x_{1}+3x_{2}+x_{3}+x_{4}=1\\x_{1}+2x_{3}+2x_{4}=5\end{cases}$，其增广矩阵为$\begin{pmatrix}1&1&1&1&2\\2&3&1&1&1\\1&0&1&2&5\end{pmatrix}$。- 第二行减去第一行的$2$倍，第三行减去第一行，可得：
$\begin{pmatrix}1&1&1&2\\0&1& - 1& - 1& - 3\\0& - 1&0&1&3\end{pmatrix}$
- 第二行减去第一行的$2$倍，第三行减去第一行，可得：
- 第三行加上第二行，可得：
$\begin{pmatrix}1&1&1&1&2\\0&1& - 1& - 1& - 3\\0&0& - 1&0&0\end{pmatrix}$ - 第一行减去第二行，可得：
$\begin{pmatrix}1&0&2&2&5\\0&1& - 1& - 1& - 3\\0&0& - 1&0&0\end{pmatrix}$ - 此时矩阵已化为行最简形。
- 得到同解方程组：
由行最简形矩阵$\begin{pmatrix}1&0&2&2&5\\0&1& - 1& - 1& - 3\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}$可得同解方程组$\begin{cases}x_1 + 2x_3 + 2x_4 = 5\\x_2 - x_3 - x_4 = - 3\end{cases}$。 - 求对应的齐次线性方程组的基础解系：
对应的齐次线性方程组为$\begin{cases}x_1 + 2x_3 + 2x_4 = 0\\x_2 - x_3 - x_4 = 0\end{cases}$。
令$1)\(x_3 = k_1$，$x_4 = k_2$（$k_1,k_2$为任意常数），则$x_1=-2k_1 - 2k_2$，$x_2=k_1 + k_2$。
写成向量形式为$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=k_1\begin{pmatrix}-2\\1\\1\\0\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix}-2\\1\\0\\1\end{pmatrix}$。
所以齐次线性方程组的基础解系为$\xi_1=\begin{pmatrix}-2\\1\\1\\0\end{pmatrix}$，$\xi_2=\begin{pmatrix}-2\\1\\0\\1\end{pmatrix}$。 - 求非齐次线性方程组的一个特解：
在同解方程组$\(\begin{cases}x_1 + 2x_3 + 2x_4 = 5\\x_2 - x_3 - x_4 = - 3\end{cases}$中，令$x_3 = 0$，$x_4 = 0$，可得$x_1 = 5$，$x_2 = - 3$。
所以非齐次线性方程组的一个特解为$\eta=\begin{pmatrix}5\\ - 3\\0\\0\end{pmatrix}$。 - 求非齐次线性方程组的通解：
根据非齐次线性方程组通解的结构，非齐次线性方程组的通解等于对应的齐次线性方程组的通解加上非齐次线性方程组的一个特解。
所以非齐次线性方程组的通解为$X=\begin{pmatrix}5\\ - 3\\0\\0\end{pmatrix}+k_1\begin{pmatrix}-2\\1\\1\\0\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix}-2\\1\\0\\1\end{pmatrix}$（$k_1,k_2$为任意常数）。