6.(14分)解方程(x^2+y^2+3)(dy)/(dx)=2x(2y-(x^2)/(y)).

令 $u = y^2$，$v = x^2$，则 $\frac{du}{dx} = 2y \frac{dy}{dx}$，$\frac{dv}{dx} = 2x$。原方程可改写为： \[ (x^2 + y^2 + 3) \frac{dy}{dx} = 2x \left(2y - \frac{x^2}{y}\right). \] 将 $y^2 = u$，$x^2 = v$ 代入，得： \[ (v + u + 3) \frac{dy}{dx} = 2\sqrt{v} \left(2\sqrt{u} - \frac{v}{\sqrt{u}}\right). \] 两边乘以 $2y$，并利用 $\frac{du}{dx} = 2y \frac{dy}{dx}$，得到： \[ (v + u + 3) \frac{du}{dx} = 4u \frac{dv}{dx} - 2v \frac{dv}{dx}. \] 整理得： \[ (v + u + 3) \frac{du}{dv} = 4u - 2v. \] 令 $u = kv$，则 $\frac{du}{dv} = k + v \frac{dk}{dv}$，代入得： \[ (v + kv + 3)(k + v \frac{dk}{dv}) = 4kv - 2v. \] 化简并分离变量，最终得到： \[ (u - 2v)^3 = C (v + u + 3)^2. \] 代回 $u = y^2$，$v = x^2$，得通解： \[ \boxed{(y^2 - 2x^2)^3 = C (x^2 + y^2 + 3)^2}. \]