题目
3.证明: (int )_(x)^1dfrac (dt)(1+{t)^2}=(int )_(1)^dfrac (1{x)}dfrac (dt)(1+{t)^2}(xgt 0).
题目解答
答案
解析
步骤 1：换元法
设 $t = \frac{1}{u}$，则 $dt = -\frac{1}{u^2}du$。当 $t = x$ 时，$u = \frac{1}{x}$；当 $t = 1$ 时，$u = 1$。
步骤 2：代入换元后的积分
将换元后的变量代入原积分，得到 ${\int }_{x}^{1}\dfrac {dt}{1+{t}^{2}} = {\int }_{\frac{1}{x}}^{1}\dfrac {-\frac{1}{u^2}du}{1+\frac{1}{u^2}}$。
步骤 3：化简积分
化简积分得到 ${\int }_{\frac{1}{x}}^{1}\dfrac {-\frac{1}{u^2}du}{1+\frac{1}{u^2}} = {\int }_{\frac{1}{x}}^{1}\dfrac {-du}{u^2+1}$。
步骤 4：调整积分上下限
调整积分上下限，得到 ${\int }_{\frac{1}{x}}^{1}\dfrac {-du}{u^2+1} = {\int }_{1}^{\frac{1}{x}}\dfrac {du}{u^2+1}$。
设 $t = \frac{1}{u}$，则 $dt = -\frac{1}{u^2}du$。当 $t = x$ 时，$u = \frac{1}{x}$；当 $t = 1$ 时，$u = 1$。
步骤 2：代入换元后的积分
将换元后的变量代入原积分，得到 ${\int }_{x}^{1}\dfrac {dt}{1+{t}^{2}} = {\int }_{\frac{1}{x}}^{1}\dfrac {-\frac{1}{u^2}du}{1+\frac{1}{u^2}}$。
步骤 3：化简积分
化简积分得到 ${\int }_{\frac{1}{x}}^{1}\dfrac {-\frac{1}{u^2}du}{1+\frac{1}{u^2}} = {\int }_{\frac{1}{x}}^{1}\dfrac {-du}{u^2+1}$。
步骤 4：调整积分上下限
调整积分上下限，得到 ${\int }_{\frac{1}{x}}^{1}\dfrac {-du}{u^2+1} = {\int }_{1}^{\frac{1}{x}}\dfrac {du}{u^2+1}$。