lim _(xarrow +infty )((1+{e)^x)}^dfrac (1{x)};

考查要点：本题主要考查极限的求解方法，特别是涉及指数函数与自然对数的转换技巧，以及洛必达法则的应用。

解题核心思路：
当遇到形如 $(1 + f(x))^{g(x)}$ 的极限时，通常可以取自然对数将其转化为更易处理的形式。通过分析底数和指数的共同变化趋势，结合洛必达法则或泰勒展开等工具，求出变形后的极限，再通过指数运算还原结果。

破题关键点：

1. 取自然对数：将原式转化为 $\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + e^x)}{x}$。
2. 应用洛必达法则：判断分子分母是否满足“0/0”或“∞/∞”型不定式，进而求导简化表达式。
3. 分析左右极限：特别注意当 $x \to 0$ 时，左右极限是否相等，从而判断原极限是否存在。

设原式为 $L = \lim_{x \to 0} (1 + e^x)^{\frac{1}{x}}$，步骤如下：

步骤1：取自然对数

对两边取自然对数：
$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + e^x)}{x}$

步骤2：应用洛必达法则

当 $x \to 0$ 时，分子 $\ln(1 + e^x) \to \ln 2$，分母 $x \to 0$，此时极限为 $\frac{\ln 2}{0}$，属于“非零常数/0”型不定式。

• 当 $x \to 0^+$：分母趋近于 $0^+$，整体趋近于 $+\infty$，故 $\ln L = +\infty$，即 $L = +\infty$。
• 当 $x \to 0^-$：分母趋近于 $0^-$，整体趋近于 $-\infty$，故 $\ln L = -\infty$，即 $L = 0$。

步骤3：判断极限存在性

由于左右极限不相等（$+\infty \neq 0$），原极限 不存在。